Решить системы уравнений:

а) $\begin{cases}2x_1-x_2-x_3=4,\\3x_1+4x_2-2x_3=11,\\3x_1-2x_2+4x_3=11;\end{cases}$ б) $\begin{cases}x_1+x_2+2x_3=-1,\\2x_1-x_2+2x_3=-4,\\4x_1+x_2+4x_3=-2;\end{cases}$

в) $\begin{cases}3x_1+2x_2+x_3=5,\\2x_1+3x_2+x_3=1,\\2x_1+x_2+3x_3=11;\end{cases}$ г) $\begin{cases}x_1+2x_2+4x_3=31,\\5x_1+x_2+2x_3=29,\\3x_1-x_2+x_3=10;\end{cases}$

ж) $\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3+4x_4=5,\\2x_1+x_2+2x_3+3x_4=1,\\3x_1+2x_2+x_3+2x_4=1,\\4x_1+3x_2+2x_3+x_4=-5.\end{cases}$

(В задачнике это пункты a), b), c), d), g); остальные пункты здесь не разбираются.)

Если определитель системы $\Delta\ne0$, то решение единственно и $x_i=\dfrac{\Delta_i}{\Delta}$, где $\Delta_i$ получается из $\Delta$ заменой $i$-го столбца столбцом свободных членов.

а) Разложением по первой строке: $$\Delta=\begin{vmatrix}2&-1&-1\\3&4&-2\\3&-2&4\end{vmatrix}=2(16-4)+1\cdot(12+6)-1\cdot(-6-12)=24+18+18=60.$$ $$\Delta_1=\begin{vmatrix}4&-1&-1\\11&4&-2\\11&-2&4\end{vmatrix}=4\cdot12+(44+22)-(-22-44)=48+66+66=180,$$ $$\Delta_2=\begin{vmatrix}2&4&-1\\3&11&-2\\3&11&4\end{vmatrix}=2(44+22)-4(12+6)-(33-33)=132-72=60,$$ $$\Delta_3=\begin{vmatrix}2&-1&4\\3&4&11\\3&-2&11\end{vmatrix}=2(44+22)+(33-33)+4(-6-12)=132-72=60.$$ $$x_1=\frac{180}{60}=3,\qquad x_2=\frac{60}{60}=1,\qquad x_3=\frac{60}{60}=1.$$ Проверка: $6-1-1=4$, $9+4-2=11$, $9-2+4=11$.

б) $\Delta=6$, $\Delta_1=6$, $\Delta_2=12$, $\Delta_3=-12$; $\ x=(1,\,2,\,-2)$.

в) $\Delta=12$, $\Delta_1=24$, $\Delta_2=-24$, $\Delta_3=36$; $\ x=(2,\,-2,\,3)$.

г) $\Delta=-27$, $\Delta_1=-81$, $\Delta_2=-108$, $\Delta_3=-135$; $\ x=(3,\,4,\,5)$.

ж) Записываем расширенную матрицу и приводим её к ступенчатому виду. $$\left(\begin{array}{cccc|c}1&2&3&4&5\\2&1&2&3&1\\3&2&1&2&1\\4&3&2&1&-5\end{array}\right)$$ Из 2-й, 3-й, 4-й строк вычитаем первую, умноженную на $2$, $3$, $4$: $$\left(\begin{array}{cccc|c}1&2&3&4&5\\0&-3&-4&-5&-9\\0&-4&-8&-10&-14\\0&-5&-10&-15&-25\end{array}\right)$$ Третью строку делим на $-2$, четвёртую — на $-5$ и ставим её второй (у неё ведущий элемент $1$): $$\left(\begin{array}{cccc|c}1&2&3&4&5\\0&1&2&3&5\\0&-3&-4&-5&-9\\0&2&4&5&7\end{array}\right)$$ К третьей строке прибавляем $3\cdot$(2-ю), из четвёртой вычитаем $2\cdot$(2-ю): $$\left(\begin{array}{cccc|c}1&2&3&4&5\\0&1&2&3&5\\0&0&2&4&6\\0&0&0&-1&-3\end{array}\right)$$ Обратный ход: $$x_4=3;\qquad 2x_3+12=6\Rightarrow x_3=-3;\qquad x_2-6+9=5\Rightarrow x_2=2;\qquad x_1+4-9+12=5\Rightarrow x_1=-2.$$ Проверка по последнему уравнению: $-8+6-6+3=-5$.

(По правилу Крамера здесь пришлось бы считать пять определителей 4-го порядка: $\Delta=-20$, $\Delta_1=40$, $\Delta_2=-40$, $\Delta_3=60$, $\Delta_4=-60$ — метод Гаусса заметно короче.)

а) $(3,1,1)$; б) $(1,2,-2)$; в) $(2,-2,3)$; г) $(3,4,5)$; ж) $(-2,2,-3,3)$.