в) Найти собственные значения и собственные векторы линейных операторов, заданных в некотором базисе матрицами:

$$A=\left(\begin{array}{ccc} 4 & -5 & 2\\ 5 & -7 & 3\\ 6 & -9 & 4 \end{array}\right).$$

---

$$\det(A-\lambda E)=\det A-\lambda\left(M_{11}(A)+M_{22}(A)+M_{33}(A)\right)+(-\lambda)^{2}\text{tr}A+(-\lambda)^{3}=-\lambda^{3}+\lambda^{2}=\lambda^{2}\left(1-\lambda\right)$$

Тогда собственные значения $\lambda_{1;2}=0;\lambda_{3}=1.$

Найдём теперь собственные векторы

$$\left(\begin{array}{ccc} 4 & -5 & 2\\ 5 & -7 & 3\\ 6 & -9 & 4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{array}\right)=0\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$$

получаем систему уравнений:

$$\left\{ \begin{array}{c} 4x_{1}-5x_{2}+2x_{3}=0;\\ 5x_{1}-7x_{2}+3x_{3}=0;\\ 3x_{1}-9x_{2}+4x_{3}=0; \end{array}\right.\to\left(\begin{array}{ccc} 4 & -5 & 2\\ 5 & -7 & 3\\ 6 & -9 & 4 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 4 & -5 & 2\\ 1 & -2 & 1\\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 0 & 3 & -2\\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 0 & \frac{3}{2} & -1\\ 1 & -\frac{1}{2} & 0 \end{array}\right)$$

В итоге получаем, что $x_{3}=\frac{3}{2}x_{2};x_{1}=\frac{1}{2}x_{2}$. Тогда собственный вектор $X_{0}=\left(1,2,3\right)^{T}$

Для $\lambda_{3}=1$

$$(A-\lambda E)X_{1}=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -5 & 2\\ 5 & -8 & 3\\ 6 & -9 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccc} 3 & -5 & 2\\ 5 & -8 & 3\\ 6 & -9 & 3 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 3 & -5 & 2\\ 5 & -8 & 3\\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 0 & -2 & 2\\ 0 & -3 & 3\\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right)$$ Тогда собственный вектор $X_{1}=\left(1,1,1\right)^{T}$.