Доказать, что в пространстве $\mathbb{R}^{3}$ существует единственный линейный оператор, переводящий векторы $(1,1,1),(0,1,0),(1,0,2)$ соответственно в векторы $(1,1,1),(0,1,0),(1,0,1)$, и найти матрицу этого оператора в базисе, состоящем из единичных векторов.

---

Составляем матричное уравнение

$$ A\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) $$

$$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1\\ -2 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right),$$

где обратную матрицу нашли при помощи преобразований:

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc|c|c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & X & A_{1}\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & X & A_{2}\\ 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & X & A_{3}\\ \hline 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 & X & A_{4}=A_{2}-A_{1}\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & & A_{5}=A_{3}-A_{1}\\ 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & -1 & & A_{6}=A_{1}-A_{5}\\ 0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 1 & & A_{7}=A_{4}+A_{5} \end{array}\right) $$