Найти матрицу оператора:

$(x_{1},x_{2},x_{3})\to(x_{1},x_{1}+2x_{2},x_{2}+3x_{3})$ в пространстве $\mathbb{R}^{3}$ в базисе из единичных векторов;

$$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 3 \end{array}\right).$$

поворота плоскости на угол $\alpha$ в произвольном ортонормированном базисе;

$x'=x\cos\alpha-y\sin\alpha$

$y'=x\sin\alpha+y\cos\alpha$

следовательно

$$A=\left(\begin{array}{cc} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{array}\right)$$

дифференцирования в пространстве $\mathbb{R}[x]_{n}$ в базисе $(1,x,x^{2},\ldots,x^{n})$

Многочлен $f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots+a_{n}x^{n}$ после дифференцирования перейдёт в $f'(x)=a_{1}+2a_{2}x+\ldots+na_{n}x^{n-1}$

т.е. $A(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})^{T}\mapsto(a_{1},2a_{2},\ldots,na_{n},0)^{T}$, тогда матрица перехода

$$ AX=\left(\begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & n\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} a_{0}\\ a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a_{1}\\ 2a_{2}\\ \vdots\\ na_{n}\\ 0 \end{array}\right).$$