Условие. Методом Якоби выяснить эквивалентность билинейных функций с матрицами \[ A_1 = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 0 & -1\\ 3 & -1 & 3\end{pmatrix},\qquad A_2 = \begin{pmatrix}1 & 3 & 0\\ 3 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 5\end{pmatrix} \] а) над полем вещественных чисел; б) над полем рациональных чисел.

—

Для симметрических билинейных форм (квадратичных форм) эквивалентность над полем \(\mathbb{R}\) определяется одинаковыми рангом и сигнатурой. Над полем \(\mathbb{Q}\) дополнительно требуется, чтобы дискриминанты (определители) отличались на квадрат ненулевого рационального числа.

Поскольку главные миноры обеих матриц отличны от нуля, можно применить метод Якоби: канонический диагональный вид имеет на диагонали числа \[ d_1 = \Delta_1,\quad d_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta_1},\quad d_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta_2}, \] где \(\Delta_k\) – главные миноры.

\[ \Delta_1 = 1,\quad \Delta_2 = \begin{vmatrix}1&2\\2&0\end{vmatrix} = -4,\quad \Delta_3 = \det A_1 = -25. \] Отсюда \[ d_1 = 1,\quad d_2 = \frac{-4}{1} = -4,\quad d_3 = \frac{-25}{-4} = \frac{25}{4}. \] Знаки: \(+, -, +\) → сигнатура \((2,1)\).

\[ \Delta_1' = 1,\quad \Delta_2' = \begin{vmatrix}1&3\\3&1\end{vmatrix} = -8,\quad \Delta_3' = \det A_2 = -41. \] Отсюда \[ d_1' = 1,\quad d_2' = \frac{-8}{1} = -8,\quad d_3' = \frac{-41}{-8} = \frac{41}{8}. \] Знаки: \(+, -, +\) → сигнатура \((2,1)\).

Обе формы имеют одинаковый ранг (3) и одинаковую сигнатуру \((2,1)\). Следовательно, они эквивалентны над \(\mathbb{R}\).

Для эквивалентности над \(\mathbb{Q}\) необходимо, чтобы отношение определителей было квадратом рационального числа: \[ \frac{\det A_1}{\det A_2} = \frac{-25}{-41} = \frac{25}{41}. \] Число \(\frac{25}{41}\) не является квадратом в \(\mathbb{Q}\), поскольку \(41\) не является квадратом целого числа (и отношение квадратов рациональных чисел всегда даёт квадрат рационального числа). Следовательно, формы не эквивалентны над \(\mathbb{Q}\).

—

Ответ. а) Эквивалентны; б) Не эквивалентны.