Условие. Найти нормальный вид квадратичных функций:
а) \(x_1^2 + x_2^2 + 3x_3^2 + 4x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3\);
б) \(x_1^2 + 2x_2^2 + x_3^2 + 2x_1x_2 + 4x_1x_3 + 2x_2x_3\);
в) \(x_1^2 - 3x_2^2 - 2x_1x_2 + 2x_1x_3 - 6x_2x_3\);
г) \(x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4\).
—
Нормальный вид вещественной квадратичной формы — это её канонический вид, в котором все ненулевые коэффициенты равны \(+1\) или \(-1\). Для каждой формы найдём матрицу и приведём её к такому виду методом Лагранжа.
Матрица формы: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}. \]
Выделяем полный квадрат по \(x_1\): \[ \begin{aligned} q &= (x_1^2 + 4x_1x_2 + 2x_1x_3) + x_2^2 + 3x_3^2 + 2x_2x_3 \\ &= (x_1 + 2x_2 + x_3)^2 - (2x_2 + x_3)^2 + x_2^2 + 3x_3^2 + 2x_2x_3 \\ &= (x_1 + 2x_2 + x_3)^2 - 4x_2^2 - 4x_2x_3 - x_3^2 + x_2^2 + 3x_3^2 + 2x_2x_3 \\ &= (x_1 + 2x_2 + x_3)^2 - 3x_2^2 - 2x_2x_3 + 2x_3^2. \end{aligned} \]
Выделяем квадрат по \(x_2\): \[ -3x_2^2 - 2x_2x_3 = -3\left(x_2^2 + \frac{2}{3}x_2x_3\right) = -3\left[\left(x_2 + \frac{1}{3}x_3\right)^2 - \frac{1}{9}x_3^2\right] = -3\left(x_2 + \frac{1}{3}x_3\right)^2 + \frac{1}{3}x_3^2. \]
Тогда \[ q = (x_1 + 2x_2 + x_3)^2 - 3\left(x_2 + \frac{1}{3}x_3\right)^2 + \frac{1}{3}x_3^2 + 2x_3^2 = (x_1 + 2x_2 + x_3)^2 - 3\left(x_2 + \frac{1}{3}x_3\right)^2 + \frac{7}{3}x_3^2. \]
Введём новые переменные: \[ y_1 = x_1 + 2x_2 + x_3,\quad y_2 = \sqrt{3}\left(x_2 + \frac{1}{3}x_3\right),\quad y_3 = \sqrt{\frac{7}{3}}\,x_3. \] Тогда \(q = y_1^2 - y_2^2 + y_3^2\).
Нормальный вид: \(\boxed{z_1^2 + z_2^2 - z_3^2}\).
Матрица формы: \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}. \]
Выделяем квадрат по \(x_1\): \[ \begin{aligned} q &= (x_1^2 + 2x_1x_2 + 4x_1x_3) + 2x_2^2 + x_3^2 + 2x_2x_3 \\ &= (x_1 + x_2 + 2x_3)^2 - (x_2 + 2x_3)^2 + 2x_2^2 + x_3^2 + 2x_2x_3 \\ &= (x_1 + x_2 + 2x_3)^2 - x_2^2 - 4x_2x_3 - 4x_3^2 + 2x_2^2 + x_3^2 + 2x_2x_3 \\ &= (x_1 + x_2 + 2x_3)^2 + x_2^2 - 2x_2x_3 - 3x_3^2. \end{aligned} \]
Выделяем квадрат по \(x_2\): \[ x_2^2 - 2x_2x_3 = (x_2 - x_3)^2 - x_3^2. \]
Тогда \[ q = (x_1 + x_2 + 2x_3)^2 + (x_2 - x_3)^2 - 4x_3^2. \]
Введём новые переменные: \[ y_1 = x_1 + x_2 + 2x_3,\quad y_2 = x_2 - x_3,\quad y_3 = 2x_3. \] Тогда \(q = y_1^2 + y_2^2 - y_3^2\).
Нормальный вид: \(\boxed{z_1^2 + z_2^2 - z_3^2}\).
Матрица формы: \[ C = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & -3 & -3 \\ 1 & -3 & 0 \end{pmatrix}. \]
Выделяем квадрат по \(x_1\): \[ \begin{aligned} q &= (x_1^2 - 2x_1x_2 + 2x_1x_3) - 3x_2^2 - 6x_2x_3 \\ &= (x_1 - x_2 + x_3)^2 - ( - x_2 + x_3)^2 - 3x_2^2 - 6x_2x_3 \\ &= (x_1 - x_2 + x_3)^2 - (x_2^2 - 2x_2x_3 + x_3^2) - 3x_2^2 - 6x_2x_3 \\ &= (x_1 - x_2 + x_3)^2 - 4x_2^2 - 4x_2x_3 - x_3^2. \end{aligned} \]
Выделяем квадрат по \(x_2\): \[ -4x_2^2 - 4x_2x_3 = -4\left(x_2^2 + x_2x_3\right) = -4\left[\left(x_2 + \frac{1}{2}x_3\right)^2 - \frac{1}{4}x_3^2\right] = -4\left(x_2 + \frac{1}{2}x_3\right)^2 + x_3^2. \]
Тогда \[ q = (x_1 - x_2 + x_3)^2 - 4\left(x_2 + \frac{1}{2}x_3\right)^2 + x_3^2 - x_3^2 = (x_1 - x_2 + x_3)^2 - 4\left(x_2 + \frac{1}{2}x_3\right)^2. \]
Введём новые переменные: \[ y_1 = x_1 - x_2 + x_3,\quad y_2 = 2\left(x_2 + \frac{1}{2}x_3\right) = 2x_2 + x_3. \] Тогда \(q = y_1^2 - y_2^2\).
Нормальный вид: \(\boxed{z_1^2 - z_2^2}\).
Форма от четырёх переменных. Запишем её в виде: \[ q = x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4. \] Матрица (симметрическая, с коэффициентом \(\frac{1}{2}\) при смешанных членах): \[ D = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\[2pt] \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\[2pt] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\[2pt] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}. \] Это матрица вида \(\frac{1}{2}(J - I)\), где \(J\) — матрица из единиц, \(I\) — единичная. Её собственные значения: * для вектора \((1,1,1,1)\): \(\frac{1}{2}(4-1) = \frac{3}{2}\) (кратность 1); * для любого вектора, ортогонального \((1,1,1,1)\): \(\frac{1}{2}(0-1) = -\frac{1}{2}\) (кратность 3).
Таким образом, форма имеет ранг 4 и сигнатуру \((1,3)\). Нормальный вид: \[ q = y_1^2 - y_2^2 - y_3^2 - y_4^2. \]
Ответ. а) \(z_1^2 + z_2^2 - z_3^2\); б) \(z_1^2 + z_2^2 - z_3^2\); в) \(z_1^2 - z_2^2\); г) \(z_1^2 - z_2^2 - z_3^2 - z_4^2\).