Условие. Найти симметрическую билинейную функцию, ассоциированную с квадратичной функцией \( q(x) = f(x, x) \), где:

а) \( f(x, y) = 2x_1y_1 - 3x_1y_2 - 4x_1y_3 + x_2y_1 - 5x_2y_3 + x_3y_3 \);

б) \( f(x, y) = -x_1y_2 + x_2y_1 - 2x_2y_2 + 3x_2y_3 - x_3y_1 + 2x_3y_3 \).

—

Симметрическая билинейная форма \(B(x,y)\), ассоциированная с квадратичной формой \(q(x)=f(x,x)\), находится по формуле \[ B(x,y) = \frac{1}{2}\bigl(f(x,y) + f(y,x)\bigr). \] Если \(A\) – матрица билинейной формы \(f\) (т.е. \(f(x,y)=x^T A y\)), то матрица симметрической формы \(B\) равна \(\frac{1}{2}(A + A^T)\).

Матрица \(A\) (коэффициенты при \(x_i y_j\)): \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -4 \\ 1 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \] Транспонированная матрица: \[ A^T = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 0 \\ -4 & -5 & 1 \end{pmatrix}. \] Симметрическая матрица: \[ B = \frac{1}{2}(A+A^T) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 & -2 & -4 \\ -2 & 0 & -5 \\ -4 & -5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & -\frac{5}{2} \\ -2 & -\frac{5}{2} & 1 \end{pmatrix}. \] Следовательно, \[ B(x,y) = 2x_1y_1 - x_1y_2 - 2x_1y_3 - x_2y_1 - \frac{5}{2}x_2y_3 - 2x_3y_1 - \frac{5}{2}x_3y_2 + x_3y_3. \]

Матрица \(A\): \[ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}. \] Транспонированная: \[ A^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix}. \] Симметрическая матрица: \[ B = \frac{1}{2}(A+A^T) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -4 & 3 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & -2 & \frac{3}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 2 \end{pmatrix}. \] Следовательно, \[ B(x,y) = -\frac{1}{2}x_1y_3 - \frac{1}{2}x_3y_1 - 2x_2y_2 + \frac{3}{2}x_2y_3 + \frac{3}{2}x_3y_2 + 2x_3y_3. \]

—

Ответ. а) \(2x_1y_1 - x_1y_2 - 2x_1y_3 - x_2y_1 - \dfrac{5}{2}x_2y_3 - 2x_3y_1 - \dfrac{5}{2}x_3y_2 + x_3y_3\); б) \(-\dfrac{1}{2}x_1y_3 - \dfrac{1}{2}x_3y_1 - 2x_2y_2 + \dfrac{3}{2}x_2y_3 + \dfrac{3}{2}x_3y_2 + 2x_3y_3\).