Условие. При каких значениях \(\lambda\) являются отрицательно определёнными квадратичные функции:

а) \(-x_1^2 + \lambda x_2^2 - x_3^2 + 4x_1x_2 + 8x_2x_3\);

б) \(\lambda x_1^2 - 2x_2^2 - 3x_3^2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_3 + 2x_2x_3\);

в) \(\lambda x_1\bar{x}_1 + 3x_2\bar{x}_2 - i x_1\bar{x}_2 + i\bar{x}_1x_2\) (эрмитова форма).

—

Для вещественной квадратичной формы критерий отрицательной определённости: все главные миноры \(\Delta_k\) матрицы формы должны удовлетворять \(\Delta_1 < 0,\ \Delta_2 > 0,\ \Delta_3 < 0,\ \dots\) (знаки чередуются). Для эрмитовой формы условие аналогично.

Матрица формы: \[ A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 2 & \lambda & 4 \\ 0 & 4 & -1 \end{pmatrix}. \]

Главные миноры: \[ \Delta_1 = -1 < 0\ \text{(выполнено)}, \] \[ \Delta_2 = \begin{vmatrix}-1 & 2 \\ 2 & \lambda\end{vmatrix} = -\lambda - 4 > 0 \ \Rightarrow\ \lambda < -4, \] \[ \Delta_3 = \det A = -1\cdot(\lambda\cdot(-1)-4\cdot4) - 2\cdot(2\cdot(-1)-4\cdot0) + 0 = -1\cdot(-\lambda-16) -2\cdot(-2) = \lambda+16+4 = \lambda+20 < 0 \ \Rightarrow\ \lambda < -20. \]

Совместно \(\lambda < -20\).

Ответ для а): \(\lambda < -20\).

Матрица формы: \[ B = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ -1 & 1 & -3 \end{pmatrix}. \]

Главные миноры: \[ \Delta_1 = \lambda < 0, \] \[ \Delta_2 = \begin{vmatrix}\lambda & 1 \\ 1 & -2\end{vmatrix} = -2\lambda - 1 > 0 \ \Rightarrow\ \lambda < -\frac{1}{2}, \] \[ \Delta_3 = \det B = \lambda\cdot\begin{vmatrix}-2 & 1 \\ 1 & -3\end{vmatrix} - 1\cdot\begin{vmatrix}1 & 1 \\ -1 & -3\end{vmatrix} + (-1)\cdot\begin{vmatrix}1 & -2 \\ -1 & 1\end{vmatrix} = \lambda\cdot(6-1) - 1\cdot(-3+1) + (-1)\cdot(1-2) = 5\lambda -1\cdot(-2) + (-1)\cdot(-1) = 5\lambda + 2 + 1 = 5\lambda + 3 < 0 \ \Rightarrow\ \lambda < -\frac{3}{5}. \]

Совместно \(\lambda < -\dfrac{3}{5}\).

Ответ для б): \(\lambda < -\dfrac{3}{5}\).

Эрмитова форма задаётся матрицей \[ H = \begin{pmatrix} \lambda & -i \\ i & 3 \end{pmatrix}. \]

Для отрицательной определённости эрмитовой формы необходимо: \[ \Delta_1 = \lambda < 0,\qquad \Delta_2 = \det H = \lambda\cdot3 - (-i)\cdot i = 3\lambda - 1 > 0. \] Условия \(\lambda < 0\) и \(3\lambda - 1 > 0\) несовместны (второе даёт \(\lambda > \frac{1}{3}\)). Следовательно, нет таких \(\lambda\).

Ответ для в): нет решений.