Пусть линейное отображение $A:V\to W$ в базисах $(e_{1},e_{2},e_{3})$ пространства $V$ и $(f_{1},f_{2})$ пространства $W$ имеет матрицу $$A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2\\ 3 & 4 & 5 \end{array}\right).$$ Найти матрицу $A'$ отображения в базисах $(e'_{1},e'_{2},e'_{3})=(e_{1},e_{1}+e_{2},e_{1}+e_{2}+e_{3})$ и $(f'_{1},f'_{2})=(f_{1},f_{1}+f_{2})$.

---

Переход от $(e_{1},e_{2},e_{3})$ к $(e'_{1},e'_{2},e'_{3})$ задается матрицей перехода $$ T_{1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right),$$ а переход от $(f_{1},f_{2})$ к $(f'_{1},f'_{2})$ задается матрицей перехода $$T_{2}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right).$$ Тогда линейное отображение $Ax=y,$ где $x\in V,y\in U$ перепишем в виде $Ax=AT_{1}x'=y=T_{2}y'.$ Следовательно, из $T_{2}y'=AT_{1}x'$ умножая слева на $T_{2}^{-1}$ получим $y'=T_{2}^{-1}AT_{1}x'=A'x'$. Т.о. $$ A'=T_{2}^{-1}AT_{1}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2\\ 3 & 4 & 5 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2\\ 3 & 4 & 5 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)= $$ $$ \left(\begin{array}{ccc} -3 & -3 & -3\\ 3 & 4 & 5 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} -3 & -6 & -9\\ 3 & 7 & 12 \end{array}\right). $$