Условие. Выяснить, какие из следующих совокупностей многочленов образуют подпространства в пространстве \(\mathbb{R}[x]_n\) (многочлены степени не выше \(n\) с действительными коэффициентами) и найти их базисы и размерности:

а) многочлены, имеющие данный корень \(\alpha \in \mathbb{R}\);

б) многочлены, имеющие данный корень \(\alpha \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}\);

в) многочлены, имеющие данные корни \(\alpha_1, \ldots, \alpha_k \in \mathbb{R}\);

г) многочлены, имеющие данный простой корень \(\alpha \in \mathbb{R}\).

Множество \(V = \{ p(x) \in \mathbb{R}[x]_n \mid p(\alpha)=0 \}\).

* Проверка на подпространство: Если \(p(\alpha)=0\) и \(q(\alpha)=0\), то \((p+q)(\alpha)=0\) и \((cp)(\alpha)=0\). Следовательно, \(V\) — подпространство.

* Базис и размерность: Любой многочлен из \(V\) делится на \((x-\alpha)\). Базис можно выбрать в виде \[ (x-\alpha),\ (x-\alpha)x,\ (x-\alpha)x^2,\ \ldots,\ (x-\alpha)x^{n-1}. \] Эти многочлены линейно независимы и порождают \(V\). Количество элементов — \(n\). Размерность \(\dim V = n\).

Множество \(W = \{ p(x) \in \mathbb{R}[x]_n \mid p(\alpha)=0 \}\), где \(\alpha = a+ib\), \(b \neq 0\).

* Проверка на подпространство: Условие \(p(\alpha)=0\) является линейным условием на коэффициенты (комплексным, но оно распадается на два вещественных линейных уравнения: равенство нулю действительной и мнимой частей). Следовательно, \(W\) — подпространство.

* Базис и размерность: Так как коэффициенты многочлена действительны, то вместе с корнем \(\alpha\) он обязательно имеет и сопряжённый корень \(\overline{\alpha}\). Минимальный многочлен с действительными коэффициентами, обращающийся в нуль в \(\alpha\), есть \[ (x-\alpha)(x-\overline{\alpha}) = x^2 - 2a x + (a^2+b^2). \] Поэтому каждый многочлен из \(W\) делится на этот квадратичный трёхчлен. Следовательно, \[ W = \{ (x^2 - 2a x + a^2+b^2) \cdot q(x) \mid q(x) \in \mathbb{R}[x]_{n-2} \}. \] Базис: \[ (x^2-2ax+a^2+b^2),\ (x^2-2ax+a^2+b^2)x,\ \ldots,\ (x^2-2ax+a^2+b^2)x^{n-2}. \] Количество элементов — \(n-1\) (при \(n=0\) или \(n=1\) пространство состоит только из нулевого многочлена, размерность 0). Размерность \(\dim W = n-1\).

Множество \(U = \{ p(x) \in \mathbb{R}[x]_n \mid p(\alpha_1)=0,\ \ldots,\ p(\alpha_k)=0 \}\), где \(\alpha_i \in \mathbb{R}\) различны.

* Проверка на подпространство: Каждое условие \(p(\alpha_i)=0\) линейно, поэтому их совместное выполнение задаёт подпространство.

* Базис и размерность: Многочлены из \(U\) делятся на произведение \((x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_k)\). Если \(k \le n+1\), то \[ U = \{ (x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_k) \cdot q(x) \mid q(x) \in \mathbb{R}[x]_{n-k} \}. \] Базис: \[ (x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_k),\ (x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_k)\,x,\ \ldots,\ (x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_k)\,x^{n-k}. \] Количество элементов — \(n+1-k\). Если \(k > n+1\), то только нулевой многочлен, размерность 0. Размерность \(\dim U = \max(0,\, n+1-k)\).

Множество \(T = \{ p(x) \in \mathbb{R}[x]_n \mid \alpha \text{ — простой корень } p(x) \}\) (т.е. \(p(\alpha)=0\), но \(p'(\alpha)\neq 0\)).

* Проверка на подпространство: Возьмём \(p(x)=x-\alpha\) и \(q(x)=(x-\alpha)(x-\alpha-1)\). Оба имеют простой корень \(\alpha\). Их сумма \[ p+q = (x-\alpha) + (x-\alpha)(x-\alpha-1) = (x-\alpha)^2 \] имеет корень \(\alpha\) кратности 2, т.е. не является простым. Следовательно, множество не замкнуто относительно сложения и не является подпространством.

—

Ответ. а) Подпространство, базис \((x-\alpha)x^k\ (k=0,\dots,n-1)\), размерность \(n\). б) Подпространство, базис \((x^2-2ax+a^2+b^2)x^k\ (k=0,\dots,n-2)\), размерность \(n-1\). в) Подпространство, базис \((x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_k)x^m\ (m=0,\dots,n-k)\) при \(k\le n+1\), размерность \(n+1-k\); при \(k>n+1\) только нулевой многочлен, размерность 0. г) Не является подпространством.