Доказать, что пространство матриц \( M_n(\mathbb{R}) \) является прямой суммой подпространства симметрических и подпространства кососимметрических матриц, и найти проекции матрицы \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \] на каждое из этих подпространств параллельно другому подпространству.

—

Обозначим: * \( S_n \) – множество симметрических матриц: \( X^T = X \); * \( K_n \) – множество кососимметрических матриц: \( X^T = -X \).

Оба множества являются подпространствами в \( M_n(\mathbb{R}) \). Для любой матрицы \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) можно записать: \[ A = \frac{A + A^T}{2} + \frac{A - A^T}{2}. \] Первое слагаемое \( \frac{A + A^T}{2} \) – симметрическое, второе \( \frac{A - A^T}{2} \) – кососимметрическое. Следовательно, \( M_n(\mathbb{R}) = S_n + K_n \).

Если \( X \in S_n \cap K_n \), то \( X^T = X \) и \( X^T = -X \), откуда \( X = -X \), т.е. \( X = 0 \). Таким образом, сумма прямая: \[ M_n(\mathbb{R}) = S_n \oplus K_n. \]

Проекция на \( S_n \) параллельно \( K_n \) есть отображение \[ P_S(A) = \frac{A + A^T}{2}, \] а проекция на \( K_n \) параллельно \( S_n \) есть \[ P_K(A) = \frac{A - A^T}{2}. \]

—

Дана матрица \( A \) размера \( n \times n \) с элементами: \[ a_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{если } i \le j, \\ 0, & \text{если } i > j. \end{cases} \] (верхняя треугольная матрица, включая главную диагональ, заполненная единицами).

Транспонированная матрица \( A^T \) имеет элементы: \[ a^T_{ij} = a_{ji} = \begin{cases} 1, & \text{если } j \le i \;\;(\text{т.е. } i \ge j), \\ 0, & \text{если } j > i. \end{cases} \] Таким образом, \( A^T \) – нижняя треугольная матрица (включая главную диагональ), заполненная единицами.

\[ P_S(A) = \frac{A + A^T}{2}. \] Элементы этой матрицы: \[ p_{ij} = \frac{a_{ij} + a_{ji}}{2}. \] Поскольку \( a_{ij} \) и \( a_{ji} \) равны 1, если соответствующий индекс не больше другого, их сумма равна: * при \( i = j \): \( a_{ii} = 1 \), \( a_{ii} = 1 \) ⇒ сумма 2, делённая на 2 = 1; * при \( i \neq j \): либо \( a_{ij}=1, a_{ji}=0 \), либо наоборот. В любом случае сумма равна 1, делённая на 2 = 1/2.

Следовательно, симметрическая проекция – это матрица с единицами на диагонали и \( \frac{1}{2} \) на всех недиагональных позициях: \[ P_S(A) = \begin{pmatrix} 1 & \frac12 & \cdots & \frac12 \\ \frac12 & 1 & \cdots & \frac12 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac12 & \frac12 & \cdots & 1 \end{pmatrix}. \]

\[ P_K(A) = \frac{A - A^T}{2}. \] Элементы: \[ k_{ij} = \frac{a_{ij} - a_{ji}}{2}. \] Для \( i = j \) получаем 0. Для \( i < j \) имеем \( a_{ij}=1 \), \( a_{ji}=0 \), поэтому \( k_{ij} = \frac12 \). Для \( i > j \) имеем \( a_{ij}=0 \), \( a_{ji}=1 \), поэтому \( k_{ij} = -\frac12 \). Итак, \[ P_K(A) = \begin{pmatrix} 0 & \frac12 & \frac12 & \cdots & \frac12 \\ -\frac12 & 0 & \frac12 & \cdots & \frac12 \\ -\frac12 & -\frac12 & 0 & \cdots & \frac12 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -\frac12 & -\frac12 & -\frac12 & \cdots & 0 \end{pmatrix}. \]

—

\[ P_S(A) = \begin{pmatrix} 1 & \frac12 & \cdots & \frac12 \\ \frac12 & 1 & \cdots & \frac12 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac12 & \frac12 & \cdots & 1 \end{pmatrix}, \qquad P_K(A) = \begin{pmatrix} 0 & \frac12 & \cdots & \frac12 \\ -\frac12 & 0 & \cdots & \frac12 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -\frac12 & -\frac12 & \cdots & 0 \end{pmatrix}. \]