Для нахождения системы линейных уравнений, задающей линейную оболочку векторов \(\langle (1, -1, 1, 0), (1, 1, 0, 1), (2, 0, 1, 1) \rangle\) в \(\mathbb{R}^4\), необходимо определить однородную систему, множество решений которой совпадает с этой оболочкой. Данные векторы линейно зависимы, так как \((2,0,1,1) = (1,-1,1,0) + (1,1,0,1)\), поэтому размерность оболочки равна 2. Тогда ортогональное дополнение (в смысле стандартного скалярного произведения) имеет размерность \(4-2=2\). Найдём базис этого ортогонального дополнения, решив систему уравнений \((v_i, x) = 0\) для \(i=1,2,3\):

\[ \begin{cases} x_1 - x_2 + x_3 = 0, \\ x_1 + x_2 + x_4 = 0, \\ 2x_1 + x_3 + x_4 = 0. \end{cases} \]

Приводим матрицу к ступенчатому виду: \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \] Общее решение: \[ x_1 = -\frac{x_3 + x_4}{2}, \quad x_2 = \frac{x_3 - x_4}{2}, \quad x_3, x_4 \in \mathbb{R}. \] Базисные векторы ортогонального дополнения (после умножения на 2 для целочисленности): \[ w_1 = (-1, 1, 2, 0), \quad w_2 = (-1, -1, 0, 2). \] Тогда исходная оболочка задаётся условиями ортогональности этим векторам: \[ \begin{cases} (-1, 1, 2, 0) \cdot x = 0, \\ (-1, -1, 0, 2) \cdot x = 0, \end{cases} \] или, после упрощения, \[ \begin{cases} x_1 - x_2 - 2x_3 = 0, \\ x_1 + x_2 - 2x_4 = 0. \end{cases} \]

Проверка показывает, что все три исходных вектора удовлетворяют этой системе, и она задаёт двумерное подпространство, совпадающее с их линейной оболочкой.

Ответ: \[ \boxed{\begin{cases} x_1 - x_2 - 2x_3 = 0, \\ x_1 + x_2 - 2x_4 = 0. \end{cases}} \]