Пусть подпространства $U,V\in\mathbb{R}^{n}$ заданы уравнениями

$x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=0$, $x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{n}$. Доказать, что $U\oplus V=\mathbb{R}^{n}$, и найти проекции единичных векторов на $U$ параллельно $V$ и $V$ параллельно $U$.

---

Для простоты рассмотрим сначала трёхмерный случай, тогда $u_{1}=\left(1,0,-1\right),u_{2}=\left(0,1,-1\right)$, а в пространстве $V:v=(1,1,1).$ Составим матрицу:

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc} u_{1} & u_{2} & v & e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ -1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\underset{\to}{(3)+(1)+(2)}\left(\begin{array}{ccc|ccc} u_{1} & u_{2} & v & e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)\underset{\to}{(1)-\frac{1}{3}(3);(2)-\frac{1}{3}(3)} $$ $$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} u_{1} & u_{2} & v & e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ \hline 1 & 0 & 0 & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\ 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3}\\ 0 & 0 & 3 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|ccc} u_{1} & u_{2} & v & e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ \hline 1 & 0 & 0 & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\ 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3}\\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{array}\right).$$

В итоге $e_{1}=\frac{2}{3}u_{1}-\frac{1}{3}u_{2}+\frac{1}{3}v$; $e_{2}=-\frac{1}{3}u_{1}+\frac{2}{3}u_{2}+\frac{1}{3}v$; $e_{3}=-\frac{1}{3}u_{1}-\frac{1}{3}u_{2}+\frac{1}{3}v$

Тогда проекция единичного вектора $e_{1}$ на пространство $U$ — это его разложение на базисные вектора этого пространства, т.е. $(\frac{2}{3},-\frac{1}{3})$. На пространство $V$ — $(\frac{1}{3})$

Рассмотрим теперь общий случай и выберем базис в пространстве $U$: $u_{1}=\left(1,0,\ldots,0,-1\right),u_{2}=\left(0,1,\ldots,0,-1\right),\ldots,u_{n-1}=\left(0,0,\ldots,1,-1\right)$ и в пространстве $V$: $v=(1,1,\ldots,1,1)$. Тогда обобщая трёхмерный случай, единичный вектор $e_{1}=\left(1,0,\ldots,0,0\right)\in\mathbb{R}^{n}$ можно представить в виде:

$e_{1}=\left(1,0,\ldots,0,0\right)=\frac{n-1}{n}u_{1}-\frac{1}{n}\left(u_{2}+\ldots+u_{n-1}\right)+\frac{1}{n}v$ тогда для произвольного единичного вектора

$e_{k}=\frac{n-1}{n}u_{k}-\frac{1}{n}\left(\sum\limits_{i=1}^{n-1}u_{i}-u_{k}\right)+\frac{1}{n}v.$