Доказать, что в пространстве $\mathbb{R}[x]_{n}$ многочленов степени $\leq n$ с вещественными коэффициентами системы $\left\{ 1,x,\ldots,x^{n}\right\} $ и $\left\{ 1,x-a,\ldots,\left(x-a\right)^{n}\right\} $, $a\in\mathbb{R}$, являются базисами, и найти координаты многочлена $f(x)=a_{0}+xa_{1}+\ldots+x^{n}a_{n}$ в этих базисах и матрицу перехода от первого базиса ко второму.

---

Первый базис: $\left\{ e_{0},e_{1},\ldots,e_{n}\right\} =\left\{ 1,x,\ldots,x^{n}\right\} $, следовательно, из равенства

$$f(x)=\left(e_{0},e_{1},\ldots,e_{n}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} x_{0}\\ x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array}\right)=\left(1,x,\ldots,x^{n}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} a_{0}\\ a_{1}\\ \vdots\\ a_{n} \end{array}\right)=a_{0}+xa_{1}+\ldots+x^{n}a_{n}$$

координаты многочлена в этом базисе: $\left(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n}\right)^{T}.$

Построим теперь переход о старого базиса $\left\{ 1,x,\ldots,x^{n}\right\} $ к новому $\left\{ 1,x-a,\ldots,\left(x-a\right)^{n}\right\} $ выразив вектора нового базиса через старый:

$e_{0}'=1=e_{0},$

$e_{1}'=x-a=e_{1}-a\cdot e_{0},$

$e_{2}'=\left(x-a\right)^{2}=x^{2}-2ax+a^{2}=e_{2}-2a\cdot e_{1}+a^{2}\cdot e_{0},$

$\vdots$

$e_{n}'=\left(x-a\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-a)^{n-k}x^{k}$

где биномиальные коэффициенты:

$\binom{n}{k}=\begin{cases} \frac{n!}{k!(n-k)!}, & 0\leqslant k\leqslant n
0, & k>n \end{cases}$

тогда матрица перехода:

$$T=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & -a & a^{2} & \cdots & \left(-a\right)^{n}\\ 0 & 1 & -2a & \cdots & n\left(-a\right)^{n-1}\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & \frac{n(n-1)}{2}\left(-a\right)^{n-2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & & \cdots & 1 \end{array}\right)$$

Переход к новым координатам задаётся обратной матрицей, которую легко найти т.к. для обратного перехода требуется заменить $-a\mapsto a$, ведь если $x'=x-a,$ то $x=x'+a$:

$$\left(\begin{array}{c} a_{0}'\\ a_{1}'\\ a_{2}'\\ \vdots\\ a_{n}' \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & a & a^{2} & \cdots & a^{n}\\ 0 & 1 & 2a & \cdots & na^{n-1}\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & \frac{n(n-1)}{2}a^{n-2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & & \cdots & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} a_{0}\\ a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n} \end{array}\right)$$

Тогда посмотрим выражения для первых координат: $$a'_{0}=\sum_{k=0}^{n}a{}^{k}a_{k}=f(a);$$ $$a'_{1}=\sum_{k=1}^{n}ka{}^{k-1}a_{k}=\left.f'(x)\right|_{x=a}=f'(a),$$ где $f'(x)$ — это первая производная; $$a'_{2}=\sum_{k=2}^{n}\frac{k(k-1)}{2!}a{}^{k-2}a_{k}=\frac{f''(a)}{2!}$$ где $f''(x)$ — это вторая производная. Теперь уже видно как будут себя вести остальные координаты: $$a'_{p}=\sum_{k=p}^{n}\frac{k!}{p!(k-p)!}a{}^{k-p}a_{k}=\frac{f^{(p)}(a)}{p!}$$