Пусть векторы $e_1,e_2,e_3$ и $\mathbf x$ заданы своими координатами в некотором базисе:

а) $e_{1}=(1,1,1);e_{2}=(1,1,2);e_{3}=(1,2,3);{\mathbf x}=(6,9,14)$.

---

Составим матрицу

$$\left(\begin{array}{ccc|c} e_{1} & e_{2} & e_{3} & {\mathbf x}\\ \hline 1 & 1 & 1 & 6\\ 1 & 1 & 2 & 9\\ 1 & 2 & 3 & 14 \end{array}\right) $$

преобразованием строк придём виду

$$ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\ 1 & 1 & 2 & 9\\ 1 & 2 & 3 & 14 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\ 0 & 0 & 1 & 3\\ 0 & 1 & 2 & 8 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\ 0 & 0 & 1 & 3\\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c} e_{1} & e_{2} & e_{3} & {\mathbf x}\\ \hline 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 3\\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{array}\right).$$

Следовательно:

$${\mathbf x}=e_{1}+2e_{2}+3e_{3}.$$