Вычислить определитель порядка $n$ $$\begin{vmatrix}1&2&2&\dots&2\\2&2&2&\dots&2\\2&2&3&\dots&2\\\vdots&&&&\vdots\\2&2&2&\dots&n\end{vmatrix}.$$

Вторая строка состоит из одних двоек. Вычтем её из всех остальных строк: $$\begin{vmatrix}-1&0&0&\dots&0\\2&2&2&\dots&2\\0&0&1&\dots&0\\\vdots&&&&\vdots\\0&0&0&\dots&n-2\end{vmatrix}.$$ В $k$-й строке ($k\ge3$) остался единственный ненулевой элемент $k-2$ на диагонали, в первой строке — только $-1$.

Разложим по первой строке: $$(-1)\cdot\begin{vmatrix}2&2&\dots&2\\0&1&\dots&0\\\vdots&&&\vdots\\0&0&\dots&n-2\end{vmatrix}=(-1)\cdot2\cdot1\cdot2\cdots(n-2)=-2\,(n-2)!$$ (оставшийся определитель верхнетреугольный).

Проверка при $n=2$: $\begin{vmatrix}1&2\\2&2\end{vmatrix}=-2=-2\cdot0!$.

$-2\,(n-2)!$ (при $n\ge2$).