Вычислить определитель $$\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&2&3&4\\1&4&9&16\\1&8&27&64\end{vmatrix}.$$

Строка $i$ — это $x_j^{\,i-1}$ для $x_1,x_2,x_3,x_4=1,2,3,4$, то есть это определитель Вандермонда. По формуле $$\det=\prod_{1\le i<j\le4}(x_j-x_i)=(2{-}1)(3{-}1)(4{-}1)(3{-}2)(4{-}2)(4{-}3)=1\cdot2\cdot3\cdot1\cdot2\cdot1=12.$$

$12$.