Вычислить определитель $$\begin{vmatrix}2&1&0&0\\1&2&1&0\\0&1&2&1\\0&0&1&2\end{vmatrix},$$ пользуясь разложением по минорам второго порядка (по первым двум строкам).

Строки $1,2$ имеют нули в столбце $4$, поэтому ненулевые миноры $2\times2$ из этих строк дают только пары столбцов $\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}$; знак слагаемого в разложении Лапласа — $(-1)^{(1+2)+(j+k)}$.

Пара столбцов $\{1,2\}$: минор строк $1,2$ равен $\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}=3$; дополнительный минор (строки $3,4$, столбцы $3,4$) равен $\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}=3$; знак $(-1)^{3+1+2}=+1$. Вклад: $3\cdot3=9$.

Пара столбцов $\{1,3\}$: минор строк $1,2$ $=\begin{vmatrix}2&0\\1&1\end{vmatrix}=2$; дополнительный минор (столбцы $2,4$) $=\begin{vmatrix}1&1\\0&2\end{vmatrix}=2$; знак $(-1)^{3+1+3}=-1$. Вклад: $-4$.

Пара столбцов $\{2,3\}$: минор строк $1,2$ $=\begin{vmatrix}1&0\\2&1\end{vmatrix}=1$; дополнительный минор (столбцы $1,4$) $=\begin{vmatrix}0&1\\0&2\end{vmatrix}=0$; вклад $0$.

Сумма: $9-4+0=5$.

(Проверка рекуррентой для трёхдиагонального определителя $D_n=2D_{n-1}-D_{n-2}$, $D_1=2,D_2=3$: $D_3=4$, $D_4=5$ — совпадает.)

$5$.