Числа $204$, $527$ и $255$ делятся на $17$. Доказать, что $$\begin{vmatrix}2&0&4\\5&2&7\\2&5&5\end{vmatrix}$$ делится на $17$.

Заменим третий столбец на $C_3+10C_2+100C_1$ (определитель при этом не меняется — это прибавление линейной комбинации других столбцов): $$C_3+10C_2+100C_1=\begin{pmatrix}4+0+200\\7+20+500\\5+50+200\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}204\\527\\255\end{pmatrix}.$$ По условию каждое из этих чисел делится на $17$: $204=17\cdot12$, $527=17\cdot31$, $255=17\cdot15$. Значит новый столбец равен $17\cdot(12,31,15)^{\mathsf T}$, и множитель $17$ можно вынести за знак определителя: $$\begin{vmatrix}2&0&204\\5&2&527\\2&5&255\end{vmatrix}=17\begin{vmatrix}2&0&12\\5&2&31\\2&5&15\end{vmatrix}.$$ Правый определитель — целое число, значит исходный определитель равен $17$, умноженному на целое число, то есть делится на $17$.

Определитель делится на $17$ (равен $17\cdot\det\begin{pmatrix}2&0&12\\5&2&31\\2&5&15\end{pmatrix}$).