Почему определитель $$\begin{vmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3&\alpha_4&\alpha_5\\\beta_1&\beta_2&\beta_3&\beta_4&\beta_5\\a_1&a_2&0&0&0\\b_1&b_2&0&0&0\\c_1&c_2&0&0&0\end{vmatrix}$$ равен нулю?

Строки $3,4,5$ имеют ненулевые элементы только в первых двух столбцах, то есть как векторы они лежат в $2$-мерном подпространстве (задаваемом координатами 1 и 2, с нулями на местах 3–5). Но три вектора в двумерном пространстве всегда линейно зависимы: существуют не все равные нулю $\lambda,\mu,\nu$, такие что $\lambda\cdot(a_1,a_2)+\mu\cdot(b_1,b_2)+\nu\cdot(c_1,c_2)=(0,0)$, а значит то же самое верно и для полных пятикомпонентных строк 3,4,5 (с нулевыми последними тремя координатами). Строка, являющаяся линейной комбинацией остальных, при вычитании этой комбинации из неё обнуляется целиком, и определитель с нулевой строкой равен нулю.

Строки 3, 4, 5 линейно зависимы (три вектора не могут быть независимы в 2-мерном пространстве), поэтому определитель равен $0$.