Найти скалярное произведение векторов, если заданы их координаты в некотором базисе и матрица Грама $\Gamma$ этого базиса.
Скалярное произведение векторов $x$ и $y$ в координатах вычисляется как $x^T \Gamma y$.
Векторы: $x = (1,\;1,\;1)^T$, $y = (1,\;3,\;1)^T$
\[ \Gamma = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 5 & -4 \\ 1 & -4 & 6 \end{pmatrix} \]
Вычисляем $\Gamma y$:
\[ \Gamma y = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + (-2)\cdot3 + 1\cdot1 \\ -2\cdot1 + 5\cdot3 + (-4)\cdot1 \\ 1\cdot1 + (-4)\cdot3 + 6\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 6 + 1 \\ -2 + 15 - 4 \\ 1 - 12 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 9 \\ -5 \end{pmatrix} \]
Скалярное произведение:
\[ x^T (\Gamma y) = 1\cdot(-4) + 1\cdot9 + 1\cdot(-5) = -4 + 9 - 5 = 0 \]
Ответ: $\boxed{0}$.
Векторы: $x = (-1,\;-1,\;1)^T$, $y = (0,\;1,\;3)^T$
\[ \Gamma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 8 & 14 \end{pmatrix} \]
Вычисляем $\Gamma y$:
\[ \Gamma y = \begin{pmatrix} 1\cdot0 + 2\cdot1 + 3\cdot3 \\ 2\cdot0 + 5\cdot1 + 8\cdot3 \\ 3\cdot0 + 8\cdot1 + 14\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + 2 + 9 \\ 0 + 5 + 24 \\ 0 + 8 + 42 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 29 \\ 50 \end{pmatrix} \]
Скалярное произведение:
\[ x^T (\Gamma y) = (-1)\cdot11 + (-1)\cdot29 + 1\cdot50 = -11 - 29 + 50 = 10 \]
Ответ: $\boxed{10}$.