Условие. Пусть \(n\) — фиксированный ненулевой вектор в геометрическом пространстве. Сопоставим произвольной паре векторов \(x, y\):
1) смешанное произведение \((n, x, y)\); 2) скалярное произведение \((x + n, y + n)\); 3) \((n, x)(n, y)\); 4) \(|n|(x, y)\); 5) \(|x||y|\).
Можно ли принять такую функцию за скалярное произведение?
Решение. Проверим выполнение аксиом скалярного произведения (симметричность, билинейность, положительная определённость) для каждой из функций.
1) \((n, x, y)\) — смешанное произведение. Оно кососимметрично: \((n, x, y) = -(n, y, x)\). Симметричность не выполняется (кроме случая, когда функция тождественно равна нулю, но для ненулевого \(n\) это не так). Ответ: нельзя.
2) \((x+n, y+n)\) — обычное скалярное произведение сдвинутых векторов. \((x+n, y+n) = (x,y) + (x,n) + (n,y) + (n,n)\). Это отображение не билинейно, так как содержит постоянное слагаемое \((n,n)\) и линейные слагаемые только по одному аргументу. Ответ: нельзя.
3) \((n, x)(n, y)\) — произведение проекций на вектор \(n\). Форма симметрична и билинейна. Однако для положительной определённости требуется \((n,x)^2 > 0\) при \(x \neq 0\). Но если \(x\) ортогонален \(n\) и \(x \neq 0\), то \((n,x)=0\) и \((n,x)^2 = 0\). Положительная определённость не выполняется. Ответ: нельзя.
4) \(|n|(x, y)\) — скалярное произведение, умноженное на положительное число \(|n| > 0\). Эта функция симметрична, билинейна (как произведение постоянной на билинейную форму) и положительно определена: \(|n|(x,x) = |n|\,|x|^2 > 0\) для любого ненулевого \(x\). Все аксиомы выполнены. Ответ: можно.
5) \(|x||y|\) — произведение длин векторов. Функция симметрична, положительно определена, но не билинейна: например, для \(x_1, x_2, y\) равенство \(|x_1+x_2||y| = |x_1||y| + |x_2||y|\) не выполняется в общем случае. Ответ: нельзя.
Итоговый ответ: только функция под номером 4 может быть принята за скалярное произведение.