Входят ли в определитель 5-го порядка произведения:

a) $a_{13}a_{24}a_{23}a_{41}a_{55}$; b) $a_{21}a_{13}a_{34}a_{55}a_{42}$?

Произведение является членом определителя тогда и только тогда, когда номера строк — это все числа $1,\dots,5$ без повторений и номера столбцов — тоже все числа $1,\dots,5$ без повторений (то есть оба набора индексов образуют перестановку).

а) Номера строк: $1,2,2,4,5$ — строка $2$ встречается дважды, а строка $3$ отсутствует. Не перестановка $\Rightarrow$ произведение не входит в определитель.

b) Номера строк: $2,1,3,5,4$ — все различны (перестановка $1$–$5$). Номера столбцов: $1,3,4,5,2$ — тоже все различны. Значит произведение входит в определитель.

a) нет; b) да.