Вычислить определители:

a) $\begin{vmatrix}1&1&1\\-1&0&1\\-1&-1&0\end{vmatrix}$; b) $\begin{vmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{vmatrix}$; c) $\begin{vmatrix}a&a&a\\-a&a&x\\-a&-a&x\end{vmatrix}$;

d) $\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&6\end{vmatrix}$; e) $\begin{vmatrix}1&i&1+i\\-i&1&0\\1-i&0&1\end{vmatrix}$; f) $\begin{vmatrix}1&1&1\\1&\omega&\omega^2\\1&\omega^2&\omega\end{vmatrix}$, где $\omega=\cos\frac{2\pi}3+i\sin\frac{2\pi}3$.

Определитель третьего порядка можно считать по правилу треугольника (Саррюса) $$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$$ или разложением по строке/столбцу, предварительно сделав нули.

a) По правилу треугольника: $0+(-1)+1-0-(-1)-0=1$.

b) $0+1+1-0-0-0=2$.

c) Прибавим первую строку ко второй и к третьей: $$\begin{vmatrix}a&a&a\\0&2a&x+a\\0&0&x+a\end{vmatrix}=a\cdot2a\cdot(x+a)=2a^2(x+a).$$

d) Вычтем первую строку из второй и третьей: $$\begin{vmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&2&5\end{vmatrix}=5-4=1.$$ (Это определитель из биномиальных коэффициентов; такие определители всегда равны $1$.)

e) Разложение по второй строке (в ней один ноль): $$-(-i)\begin{vmatrix}i&1+i\\0&1\end{vmatrix}+1\cdot\begin{vmatrix}1&1+i\\1-i&1\end{vmatrix}=i\cdot i+\bigl(1-(1+i)(1-i)\bigr)=-1+(1-2)=-2.$$

f) Разложение по первой строке, с учётом $\omega^3=1$, $\omega^4=\omega$: $$(\omega^2-\omega^4)-(\omega-\omega^2)+(\omega^2-\omega)=\omega^2-\omega-\omega+\omega^2+\omega^2-\omega=3(\omega^2-\omega).$$ $\omega^2-\omega=\bigl(-\frac12-\frac{\sqrt3}2i\bigr)-\bigl(-\frac12+\frac{\sqrt3}2i\bigr)=-\sqrt3\,i$, так что ответ $-3\sqrt3\,i$.

a) $1$; b) $2$; c) $2a^2(x+a)$; d) $1$; e) $-2$; f) $3(\omega^2-\omega)=-3\sqrt3\,i$.