Доказать, что определитель второго порядка с элементами из поля равен нулю в том и только в том случае, если его строки пропорциональны.

Пусть $\Delta=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$.

Если строки пропорциональны, то одна из них получается из другой умножением на число. Например, $(c,d)=\lambda(a,b)$: тогда $\Delta=a\cdot\lambda b-b\cdot\lambda a=0$. Если же первая строка нулевая, $\Delta=0\cdot d-0\cdot c=0$.

Обратно, пусть $ad-bc=0$.

• Если первая строка нулевая ($a=b=0$), она пропорциональна второй: $(a,b)=0\cdot(c,d)$.
• Если $a\ne0$, положим $\lambda=\dfrac ca$. Тогда $c=\lambda a$ и $d=\dfrac{bc}a=\lambda b$, то есть $(c,d)=\lambda(a,b)$.
• Если $a=0$, $b\ne0$: из $ad-bc=0$ следует $bc=0$, $c=0$; положим $\lambda=\dfrac db$, тогда $(c,d)=(0,\lambda b)=\lambda(a,b)$.

Деление на $a$ или $b$ возможно именно потому, что элементы берутся из поля. Для кольца утверждение может нарушаться (см. задачу 234 задачника: в кольце вычетов по составному модулю).

Доказано: $ad-bc=0\iff$ строки пропорциональны.