Умножить матрицы:

а) $\begin{pmatrix}2&1&1\\3&0&1\end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{pmatrix}$; б) $\begin{pmatrix}3&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$;

в) $\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}$ и $(1\ 2\ 3)$; г) $(1\ 2\ 3)$ и $\begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}$.

Элемент $c_{ij}$ произведения $AB$ равен сумме произведений элементов $i$-й строки $A$ на соответствующие элементы $j$-го столбца $B$ («строка на столбец»). Произведение определено, если число столбцов $A$ равно числу строк $B$; размер результата — (строки $A$)$\times$(столбцы $B$).

а) $(2\times3)\cdot(3\times2)\to2\times2$: $$\begin{pmatrix}2&1&1\\3&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6+2+1&2+1+0\\9+0+1&3+0+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9&3\\10&3\end{pmatrix}.$$

б) $(2\times3)\cdot(3\times1)\to2\times1$: $$\begin{pmatrix}3+4+3\\0+2+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\8\end{pmatrix}.$$

в) $(3\times1)\cdot(1\times3)\to3\times3$ — каждый элемент столбца умножается на всю строку: $$\begin{pmatrix}2&4&6\\1&2&3\\3&6&9\end{pmatrix}.$$

г) $(1\times3)\cdot(3\times1)\to1\times1$: $2+8+3=13$.

Пункты в) и г) показывают, что при перестановке сомножителей может измениться даже размер произведения.

а) $\begin{pmatrix}9&3\\10&3\end{pmatrix}$; б) $\begin{pmatrix}10\\8\end{pmatrix}$; в) $\begin{pmatrix}2&4&6\\1&2&3\\3&6&9\end{pmatrix}$; г) $(13)$.