Задача 20.8

Условие. Доказать, что при любом натуральном \( n \) данное множество функций образует конечномерное линейное пространство; найти размерность и указать базис этого пространства:

1) множество многочленов степени не выше \( n \) (обозначается \( P^{(n)} \));

2) множество четных многочленов степени не выше \( n \);

3) множество нечетных многочленов степени не выше \( n \);

4) множество тригонометрических многочленов порядка не выше \( n \), т. е. множество функций вида \( f(t) = a_0 + a_1 \cos t + b_1 \sin t + \ldots + a_n \cos nt + b_n \sin nt \);

5) множество четных тригонометрических многочленов порядка не выше \( n \);

6) множество нечетных тригонометрических многочленов порядка не выше \( n \);

7) множество функций вида \( f(t) = e^{\alpha t} (a_0 + a_1 \cos t + b_1 \sin t + \ldots + a_n \cos nt + b_n \sin nt) \), где \( \alpha \) — фиксированное действительное число.

Решение

Каждое из указанных множеств является линейным подпространством в пространстве всех вещественных функций (или в пространстве непрерывных функций) и конечномерно. Приведём базисы и размерности.

1)

Множество \( P^{(n)} \) всех многочленов степени не выше \( n \) с действительными коэффициентами.

* Базис: \( 1,\ t,\ t^2,\ \dots,\ t^n \). * Размерность: \( n+1 \).

2)

Множество чётных многочленов степени не выше \( n \). Чётный многочлен содержит только чётные степени переменной.

* Базис: \( 1,\ t^2,\ t^4,\ \dots,\ t^{2k} \), где \( 2k \le n \) — максимальная чётная степень. * Размерность: \( \left\lfloor \dfrac{n}{2} \right\rfloor + 1 \).

3)

Множество нечётных многочленов степени не выше \( n \). Нечётный многочлен содержит только нечётные степени.

* Базис: \( t,\ t^3,\ t^5,\ \dots,\ t^{2k+1} \), где \( 2k+1 \le n \) — максимальная нечётная степень. * Размерность: \( \left\lfloor \dfrac{n+1}{2} \right\rfloor \).

4)

Множество тригонометрических многочленов порядка не выше \( n \).

* Базис: \( 1,\ \cos t,\ \sin t,\ \cos 2t,\ \sin 2t,\ \dots,\ \cos nt,\ \sin nt \). * Размерность: \( 2n+1 \).

5)

Множество чётных тригонометрических многочленов порядка не выше \( n \). Чётность означает \( f(-t)=f(t) \), поэтому все коэффициенты при синусах равны нулю.

* Базис: \( 1,\ \cos t,\ \cos 2t,\ \dots,\ \cos nt \). * Размерность: \( n+1 \).

6)

Множество нечётных тригонометрических многочленов порядка не выше \( n \). Нечётность \( f(-t)=-f(t) \) даёт \( a_0=0 \) и нулевые коэффициенты при косинусах.

* Базис: \( \sin t,\ \sin 2t,\ \dots,\ \sin nt \). * Размерность: \( n \).

7)

Множество функций вида \( f(t)=e^{\alpha t}\bigl(a_0 + \sum_{k=1}^n (a_k\cos kt + b_k\sin kt)\bigr) \), \( \alpha \) фиксировано. Умножение на фиксированную функцию \( e^{\alpha t} \) устанавливает изоморфизм с пространством тригонометрических многочленов.

* Базис: \( e^{\alpha t},\ e^{\alpha t}\cos t,\ e^{\alpha t}\sin t,\ \dots,\ e^{\alpha t}\cos nt,\ e^{\alpha t}\sin nt \). * Размерность: \( 2n+1 \).