Задача 20.3

Условие. Выяснить, является ли линейным подпространством данное множество векторов в \(n\)-мерном пространстве, и если является, то найти его размерность:

1) множество векторов, все координаты которых равны между собой; 2) множество векторов, первая координата которых равна 0; 3) множество векторов, сумма координат которых равна 0; 4) множество векторов, сумма координат которых равна 1.

Решение

1)

Множество \(M_1 = \{ (x_1, x_2, \dots, x_n) \mid x_1 = x_2 = \dots = x_n \}\).

* Проверка на подпространство: Пусть \(x = (a,a,\dots,a)\), \(y = (b,b,\dots,b)\). Тогда \(x+y = (a+b,\dots,a+b) \in M_1\) и \(\lambda x = (\lambda a,\dots,\lambda a) \in M_1\). Нулевой вектор принадлежит. Следовательно, \(M_1\) — подпространство.

* Базис и размерность: Любой вектор из \(M_1\) имеет вид \((a,a,\dots,a) = a(1,1,\dots,1)\). Базис состоит из одного вектора \((1,1,\dots,1)\). Размерность \(\dim M_1 = 1\).

2)

Множество \(M_2 = \{ (x_1, x_2, \dots, x_n) \mid x_1 = 0 \}\).

* Проверка на подпространство: Если \(x_1=0\) и \(y_1=0\), то \((x+y)_1 = 0\) и \((\lambda x)_1 = 0\). Нулевой вектор принадлежит. Значит, \(M_2\) — подпространство.

* Базис и размерность: Координаты \(x_2, \dots, x_n\) могут быть любыми. Базис: \[ e_2 = (0,1,0,\dots,0),\ e_3 = (0,0,1,0,\dots,0),\ \dots,\ e_n = (0,\dots,0,1). \] Количество векторов — \(n-1\). Размерность \(\dim M_2 = n-1\).

3)

Множество \(M_3 = \{ (x_1, x_2, \dots, x_n) \mid x_1 + x_2 + \dots + x_n = 0 \}\).

* Проверка на подпространство: Если суммы координат \(x\) и \(y\) равны нулю, то сумма координат \(x+y\) также равна нулю, и для \(\lambda x\) сумма равна \(\lambda \cdot 0 = 0\). Нулевой вектор подходит. Следовательно, \(M_3\) — подпространство.

* Базис и размерность: Условие задаёт одну линейную зависимость. Размерность пространства \(n\) уменьшается на 1. Базис можно выбрать, например, из векторов \[ (1,-1,0,\dots,0),\ (1,0,-1,0,\dots,0),\ \dots,\ (1,0,\dots,0,-1). \] Количество векторов — \(n-1\). Размерность \(\dim M_3 = n-1\).

4)

Множество \(M_4 = \{ (x_1, x_2, \dots, x_n) \mid x_1 + x_2 + \dots + x_n = 1 \}\).

* Проверка на подпространство: Нулевой вектор не удовлетворяет условию (сумма координат равна 0, а не 1). Следовательно, \(M_4\) не содержит нулевого вектора и не является подпространством.

—

Ответ. 1) Является подпространством, размерность 1. 2) Является подпространством, размерность \(n-1\). 3) Является подпространством, размерность \(n-1\). 4) Не является подпространством.