Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную функцию к главным осям:
a) $6x_{1}^{2}+5x_{2}^{2}+7x_{3}^{2}-4x_{1}x_{2}+4x_{1}x_{3}$
По функции построим матрицу
$$A=\left(\begin{array}{ccc} 6 & -2 & 2\\ -2 & 5 & 0\\ 2 & 0 & 7 \end{array}\right)$$
Построим характеристический многочлен
$$\chi(\lambda)=-\left(\lambda-3\right)\left(\lambda-6\right)\left(\lambda-9\right)$$
$$\left(A-3E\right)=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -2 & 2\\ -2 & 2 & 0\\ 2 & 0 & 4 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 3 & -2 & 2\\ -2 & 2 & 0\\ 2 & 0 & 4\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 2 & 0 & 0\\ 1 & 0 & -2\\ 1 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$
собственный нормированный вектор
$$e_{1}=\frac{1}{3}\left(2,2,-1\right)^{T};$$
$$\left(A-6E\right)=\left(\begin{array}{ccc} 0 & -2 & 2\\ -2 & -1 & 0\\ 2 & 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 0 & -2 & 2\\ -2 & -1 & 0\\ 2 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ -2 & 1 & 1 \end{array}\right)$$
собственный нормированный вектор
$$e_{2}=\frac{1}{3}\left(-1,2,2\right)^{T};$$
$$\left(A-9E\right)=\left(\begin{array}{ccc} -3 & -2 & 2\\ -2 & -4 & 0\\ 2 & 0 & -2 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} -3 & -2 & 2\\ -2 & -4 & 0\\ 2 & 0 & -2\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 2\\ -2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2\\ 1 & -2 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right)$$
собственный нормированный вектор
$$e_{3}=\frac{1}{3}\left(2,-1,2\right)^{T};$$
Тогда матрица преобразования $$T=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 2\\ 2 & 2 & -1\\ -1 & 2 & 2 \end{array}\right)$$ приводит к форме $$3y_{1}^{2}+6y_{2}^{2}+9y_{3}^{2}.$$
Выяснить, что в следующих парах квадратичных форм одна форма является положительно определенной; найти невырожденное линейное преобразование, приводящее эту форму к нормальному, а другую форму той же пары к каноническому виду, и написать этот канонический вид (линейное преобразование определено не однозначно):
$$f=-4x_{1}x_{2}=x^{T}\left(\begin{array}{cc} 0 & -2\\ -2 & 0 \end{array}\right)x;$$ $$g=x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+4x_{2}^{2}=x^{T}\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ -1 & 4 \end{array}\right)x$$
$g$ — положительно определённая форма, методом Лагранжа приведём её к нормальному виду:
$$g=x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}+3x_{2}^{2}=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(\sqrt{3}x_{2}\right)^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$$ задающее преобразование координат
$$\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ 0 & \sqrt{3} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} y_{1}\\ y_{2} \end{array}\right)$$ тогда $$\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2} \end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{cc} \sqrt{3} & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} y_{1}\\ y_{2} \end{array}\right)$$
Матрица второй квадратичной формы:
$$F=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{cc} \sqrt{3} & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)^{T}\left(\begin{array}{cc} 0 & -2\\ -2 & 0 \end{array}\right)\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{cc} \sqrt{3} & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)=-\frac{2}{3}\left(\begin{array}{cc} \sqrt{3} & 0\\ 1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} \sqrt{3} & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)=$$
$$-\frac{2}{3}\left(\begin{array}{cc} 0 & \sqrt{3}\\ 1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} \sqrt{3} & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)=-\frac{2}{3}\left(\begin{array}{cc} 0 & \sqrt{3}\\ \sqrt{3} & 2 \end{array}\right).$$
Построим характеристический многочлен
$$\chi(\lambda)=\lambda^{2}-2\lambda-3=\left(\lambda-3\right)\left(\lambda+1\right)$$
тогда $$F'=-\frac{2}{3}\left(\begin{array}{cc} 3 & 0\\ 0 & -1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} -2 & 0\\ 0 & \frac{2}{3} \end{array}\right)$$
и вектора
$$B-3E=\left(\begin{array}{cc} -3 & \sqrt{3}\\ \sqrt{3} & -1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc} -3 & \sqrt{3}\\ \sqrt{3} & -1\\ 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc} 0 & \sqrt{3}\\ 0 & -1\\ 1 & 0\\ \sqrt{3} & 1 \end{array}\right)$$
$$B+1E=\left(\begin{array}{cc} 1 & \sqrt{3}\\ \sqrt{3} & 3 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc} 1 & \sqrt{3}\\ \sqrt{3} & 3\\ 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ \sqrt{3} & 0\\ 1 & -\sqrt{3}\\ 0 & 1 \end{array}\right)$$
$$T=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc} 1 & -\sqrt{3}\\ \sqrt{3} & 1 \end{array}\right)$$
следовательно, замена
$$\left(\begin{array}{c} y_{1}\\ y_{2} \end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc} 1 & -\sqrt{3}\\ \sqrt{3} & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} z_{1}\\ z_{2} \end{array}\right)$$
$$\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2} \end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{cc} \sqrt{3} & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} y_{1}\\ y_{2} \end{array}\right)= \frac{1}{2\sqrt{3}}\left(\begin{array}{cc} \sqrt{3} & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & -\sqrt{3}\\ \sqrt{3} & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} z_{1}\\ z_{2} \end{array}\right)=$$ $$\frac{1}{2\sqrt{3}}\left(\begin{array}{cc} 2\sqrt{3} & -2\\ \sqrt{3} & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} z_{1}\\ z_{2} \end{array}\right)$$
$$f=x_{1}^{2}+26x_{2}^{2}+10x_{1}x_{2};$$
$$g=x_{1}^{2}+56x_{2}^{2}+16x_{1}x_{2};$$
$$f=x_{1}^{2}+26x_{2}^{2}+10x_{1}x_{2}=x^{T}\left(\begin{array}{cc} 1 & 5\\ 5 & 26 \end{array}\right)x$$
$$\det\left(\begin{array}{cc} 1 & 5\\ 5 & 26 \end{array}\right)=1>0$$
$$g=x_{1}^{2}+56x_{2}^{2}+16x_{1}x_{2}=x^{T}\left(\begin{array}{cc} 1 & 8\\ 8 & 56 \end{array}\right)x$$
$$\det\left(\begin{array}{cc} 1 & 8\\ 8 & 56 \end{array}\right)=-8<0$$
$$f=x_{1}^{2}+26x_{2}^{2}+10x_{1}x_{2}=x_{1}^{2}+10x_{1}x_{2}+25x_{2}^{2}+x_{2}^{2}=\left(x_{1}+5x_{2}\right)^{2}+x_{2}^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$$
$$x_{2}=y_{2};x_{1}=y_{1}-5y_{2}.$$
$$g=\left(y_{1}-5y_{2}\right){}^{2}+56y_{2}^{2}+16\left(y_{1}-5y_{2}\right)y_{2}=y_{1}^{2}-10y_{1}y_{2}+25y_{2}^{2}+56y_{2}^{2}+16y_{1}y_{2}-80y_{2}^{2}=$$
$$y_{1}^{2}+6y_{1}y_{2}+y_{2}^{2}=y_{1}^{2}+6y_{1}y_{2}\pm9y_{2}^{2}+y_{2}^{2}=\left(y_{1}+3y_{2}\right)^{2}-8y_{2}^{2}=z_{1}^{2}-8z_{2}^{2}$$ (?) проверкой можно убедиться, что нет
тогда
$$g=y_{1}^{2}+6y_{1}y_{2}+y_{2}^{2}=y^{T}\left(\begin{array}{cc} 1 & 3\\ 3 & 1 \end{array}\right)y$$
Построим характеристический многочлен
$$\chi(\lambda)=\lambda^{2}-2\lambda-8=\left(\lambda-4\right)\left(\lambda+2\right)$$
$$\left(\begin{array}{cc} 1 & 3\\ 3 & 1 \end{array}\right)-4E=\left(\begin{array}{cc} -3 & 3\\ 3 & -3 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc} -3 & 3\\ 3 & -3\\ 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc} 0 & 3\\ 0 & -3\\ 1 & 0\\ 1 & 1 \end{array}\right)$$
$$\left(\begin{array}{cc} 1 & 3\\ 3 & 1 \end{array}\right)+2E=\left(\begin{array}{cc} 3 & 3\\ 3 & 3 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc} 3 & 3\\ 3 & 3\\ 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc} 0 & 3\\ 0 & 3\\ 1 & 0\\ -1 & 1 \end{array}\right)$$
$$T=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{array}\right)$$
следовательно, замена
$$\left(\begin{array}{c} y_{1}\\ y_{2} \end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} z_{1}\\ z_{2} \end{array}\right)$$
$$\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & -5\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} y_{1}\\ y_{2} \end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc} 1 & -5\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} z_{1}\\ z_{2} \end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc} -4 & 6\\ 1 & -1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} z_{1}\\ z_{2} \end{array}\right)$$