Вычислим следующие определители, приводя их к треугольному виду (методом Гаусса).

—

### Пункт а)

Вычислить определитель $n \times n$ матрицы: $$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n \\ -1 & 0 & 3 & \dots & n \\ -1 & -2 & 0 & \dots & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -1 & -2 & -3 & \dots & 0 \end{vmatrix}$$

Пошаговое решение:

Шаг 1 Обнуляем первый столбец под первым элементом. Для каждой строки $i$ от $2$ до $n$ прибавляем к ней первую строку: $R_i \to R_i + R_1$.
——
$$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \dots & n \\ 0 & 2 & 6 & 8 & \dots & 2n \\ 0 & 0 & 3 & 7 & \dots & 2n \\ 0 & 0 & 0 & 4 & \dots & 2n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & n \end{vmatrix}$$
Шаг 2 В полученной матрице видим, что в каждой строке $i$ (начиная со второй) элементы $A_{i,j}$ при $j < i-1$ равны нулю. То есть, получилась верхнетреугольная матрица. Элементы на главной диагонали: $1, 2, 3, \dots, n$.
Шаг 3 Определитель верхнетреугольной матрицы равен произведению элементов на главной диагонали.
$$D = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n = n!$$

Ответ: $n!$

—

### Пункт б)

Вычислить определитель $n \times n$ матрицы: $$D = \begin{vmatrix} 1 & n & n & \dots & n \\ n & 2 & n & \dots & n \\ n & n & 3 & \dots & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & n & n & \dots & n \end{vmatrix}$$

Пошаговое решение:

Шаг 1 Из каждой строки, начиная со второй, вычитаем первую строку, умноженную на $1$. То есть $R_i \to R_i - R_1$ для $i=2, \dots, n$.
——
$$D = \begin{vmatrix} 1 & n & n & \dots & n \\ n-1 & 2-n & 0 & \dots & 0 \\ n-1 & 0 & 3-n & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n-1 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{vmatrix}$$
Шаг 2 Теперь вычтем из каждого столбца, начиная со второго, первый столбец, умноженный на $n$. То есть $C_j \to C_j - n C_1$ для $j=2, \dots, n$.
$$D = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ n-1 & 2-n & 0 & \dots & 0 \\ n-1 & -(n-1)n & 3-n & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n-1 & -(n-1)n & -(n-1)n & \dots & 0 \end{vmatrix}$$
Шаг 3 Определитель такой нижнетреугольной матрицы равен произведению элементов на главной диагонали:
$$D = 1 \cdot (2-n) \cdot (3-n) \cdot \dots \cdot (n-1-n) \cdot (n-n)$$
Поскольку последний элемент на диагонали равен $n-n=0$, весь определитель равен $0$.

Ответ: $0$

—

### Пункт в)

Вычислить определитель $n \times n$ матрицы: $$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & 1 \\ a_1 & a_1 & \dots & a_1 & a_1 - b_1 & a_1 \\ a_2 & a_2 & \dots & a_2 - b_2 & a_2 & a_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_n - b_n & a_n & \dots & a_n & a_n & a_n \end{vmatrix}$$

Пошаговое решение:

Шаг 1 Из каждой строки $i$, начиная со второй, вычтем первую строку, умноженную на $a_i$. То есть $R_i \to R_i - a_i R_1$ для $i=2, \dots, n$.
——
$$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & -b_1 & 0 \\ 0 & 0 & \dots & -b_2 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ -b_n & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}$$
Шаг 2 Полученная матрица имеет особый вид: на главной диагонали нули, и ненулевые элементы находятся на «побочной» диагонали. Разложим определитель по первой строке. Единственный ненулевой элемент в первой строке (кроме первого $1$) приведет к ненулевым минорам. Проще заметить, что это «антидиагональная» матрица, кроме первого элемента.
Шаг 3 Переставим столбцы так, чтобы получить треугольный вид. Переставим столбцы в обратном порядке: последний станет вторым, предпоследний — третьим и т.д. Это приведет к $(n-1) + (n-2) + \dots + 1 = \frac{n(n-1)}{2}$ перестановок, каждая из которых меняет знак определителя.
Либо, что проще, разложим определитель по первому столбцу. Минор $M_{1,1}$ имеет вид:
$$\begin{vmatrix} 0 & \dots & 0 & -b_1 & 0 \\ 0 & \dots & -b_2 & 0 & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & -b_{n-1} & \dots & 0 & 0 \\ -b_n & 0 & \dots & 0 & 0 \end{vmatrix}$$
Шаг 4 Это определитель «антидиагональной» матрицы. Его значение равно произведению элементов на антидиагонали, умноженному на $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$.
$$D = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \cdot ((-b_1)(-b_2)\dots(-b_n))$$
$$D = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \cdot (-1)^n \cdot b_1 b_2 \dots b_n$$

Ответ: $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2} + n} b_1 b_2 \dots b_n$ *(Примечание: это можно упростить до $(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}} b_1 b_2 \dots b_n$)*.