Вычислить $$\text{а) }\sqrt[3]{\frac{-2\sqrt3+i}{1-i}},\qquad \text{б) }\sqrt[4]{-i}.$$

Корень $n$-й степени из $w=re^{i\varphi}$ имеет $n$ значений: $$\sqrt[n]w=\sqrt[n]r\,e^{i(\varphi+2\pi k)/n},\qquad k=0,1,\dots,n-1;$$ они лежат в вершинах правильного $n$-угольника на окружности радиуса $\sqrt[n]r$.

б) $-i=e^{-i\pi/2}$: $$\sqrt[4]{-i}=e^{i(-\pi/2+2\pi k)/4}=e^{i(-\pi/8+\pi k/2)},\quad k=0,1,2,3,$$ то есть $e^{-i\pi/8},\ e^{3i\pi/8},\ e^{7i\pi/8},\ e^{11i\pi/8}$ — вершины квадрата на единичной окружности. Алгебраически, например, $e^{-i\pi/8}=\cos\frac\pi8-i\sin\frac\pi8=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2-i\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}2$; остальные получаются умножением на $i$.

а) Сначала подкоренное выражение: $$w=\frac{(-2\sqrt3+i)(1+i)}2=-\frac{2\sqrt3+1}2+\frac{1-2\sqrt3}2\,i,\qquad |w|=\frac{|-2\sqrt3+i|}{|1-i|}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt2}.$$ Аргумент: $\arg(-2\sqrt3+i)=\pi-\operatorname{arctg}\frac1{2\sqrt3}$, $\arg(1-i)=-\frac\pi4$, поэтому $$\varphi=\arg w=\frac{5\pi}4-\operatorname{arctg}\frac1{2\sqrt3}\approx3{,}646\ (\text{т.е. }\approx-2{,}637).$$ $$\sqrt[3]w=\Bigl(\frac{13}2\Bigr)^{1/6}e^{i(\varphi+2\pi k)/3},\quad k=0,1,2.$$ Численно: $\approx0{,}475+1{,}281i$, $\ \approx-1{,}347-0{,}229i$, $\ \approx0{,}871-1{,}052i$.

Аргумент здесь не табличный — вероятно, в условии опечатка (например, должно быть $-2\sqrt3+2i=4e^{5\pi i/6}$; тогда $w=2\sqrt2e^{13\pi i/12}$ и $\sqrt[3]w=\sqrt2\,e^{i(13\pi/36+2\pi k/3)}$).

б) $e^{i(-\pi/8+\pi k/2)}$, $k=0,1,2,3$; а) $\bigl(\frac{13}2\bigr)^{1/6}e^{i(\varphi+2\pi k)/3}$, $\varphi=\frac{5\pi}4-\operatorname{arctg}\frac1{2\sqrt3}$, $k=0,1,2$.