Задача повышенной сложности.

Найти решение однородной системы линейных уравнений в зависимости от параметра $\alpha$: $$\begin{cases}\alpha x+y+z=0,\\x+\alpha y+z=0,\\x+y+\alpha z=0,\end{cases}$$ или найти решение неоднородной системы $$\begin{cases}\alpha x+y+z=1,\\x+\alpha y+z=1,\\x+y+\alpha z=1.\end{cases}$$

Определитель системы (см. задачу 321 при $n=3$): $$\Delta=\begin{vmatrix}\alpha&1&1\\1&\alpha&1\\1&1&\alpha\end{vmatrix}=(\alpha+2)(\alpha-1)^2.$$

Однородная система.

• $\alpha\ne1,\ \alpha\ne-2$: $\Delta\ne0$, только нулевое решение $x=y=z=0$.
• $\alpha=1$: все три уравнения совпадают с $x+y+z=0$; ранг $1$, два свободных неизвестных: $(x,y,z)=(-s-t,\ s,\ t)$, $s,t\in\mathbb R$.
• $\alpha=-2$: ранг $2$. Вычитая из первого уравнения второе: $-3x+3y=0$, $x=y$; аналогично $y=z$. Решения $(t,t,t)$, $t\in\mathbb R$.

Неоднородная система.

• $\alpha\ne1,\ \alpha\ne-2$: решение единственное. Сложив уравнения: $(\alpha+2)(x+y+z)=3$; вычитая попарно: $(\alpha-1)(x-y)=0$ и т.д., то есть $x=y=z$. Значит $x=y=z=\dfrac1{\alpha+2}$.
• $\alpha=1$: одно уравнение $x+y+z=1$: $(1-s-t,\ s,\ t)$.
• $\alpha=-2$: сумма уравнений даёт $0=3$ — решений нет.

Однородная: при $\alpha\ne1,-2$ — только нулевое; при $\alpha=1$ — $(-s-t,s,t)$; при $\alpha=-2$ — $(t,t,t)$. Неоднородная: при $\alpha\ne1,-2$ — $x=y=z=\frac1{\alpha+2}$; при $\alpha=1$ — $(1-s-t,s,t)$; при $\alpha=-2$ — несовместна.