Пусть в прямоугольной декартовой системе координат задана плоскость $x+y+z=0$. Найти уравнение плоскости, если начало системы координат сдвинули в точку $(1,2,3)$.

При переносе начала в точку $O'(1,2,3)$ (оси не поворачиваются) старые и новые координаты связаны так: $$x=x'+1,\qquad y=y'+2,\qquad z=z'+3.$$ Подставляем в уравнение: $(x'+1)+(y'+2)+(z'+3)=0$.

$x'+y'+z'+6=0$.