Установить, компланарны ли векторы: 1) $\mathbf a=\mathbf i+\mathbf j+\mathbf k$, $\mathbf b=\mathbf i+\mathbf j-\mathbf k$, $\mathbf c=\mathbf i-\mathbf j+\mathbf k$; 2) $\mathbf a=3\mathbf i+5\mathbf j$, $\mathbf b=\mathbf i-\mathbf j+2\mathbf k$, $\mathbf c=5\mathbf i+3\mathbf j+4\mathbf k$. (В листке третий вектор во втором пункте обозначен $\mathbf a$ — опечатка.)

Векторы компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

1) $$\begin{vmatrix}1&1&1\\1&1&-1\\1&-1&1\end{vmatrix}=1(1-1)-1(1+1)+1(-1-1)=-4\ne0$$ — не компланарны.

2) $$\begin{vmatrix}3&5&0\\1&-1&2\\5&3&4\end{vmatrix}=3(-4-6)-5(4-10)+0=-30+30=0$$ — компланарны. Явная зависимость: $\mathbf c=\mathbf a+2\mathbf b$.

1) не компланарны; 2) компланарны, $\mathbf c=\mathbf a+2\mathbf b$.