В ориентированном пространстве даны два перпендикулярных друг другу вектора $\mathbf a$, $\mathbf n$, причём $|\mathbf n|=1$. В плоскости, положительная ориентация которой определяется упорядоченной парой векторов $\mathbf a$, $\mathbf n\times\mathbf a$, найти вектор $\mathbf b$, полученный из вектора $\mathbf a$ поворотом этой плоскости на угол $\varphi$.

Вектор $\mathbf n\times\mathbf a$ перпендикулярен $\mathbf a$ (и $\mathbf n$) и имеет длину $|\mathbf n||\mathbf a|\sin\frac\pi2=|\mathbf a|$. Значит, $\mathbf a$ и $\mathbf n\times\mathbf a$ — два перпендикулярных вектора одинаковой длины, и пара $\mathbf a,\ \mathbf n\times\mathbf a$ задаёт положительную ориентацию плоскости: $\mathbf n\times\mathbf a$ получается из $\mathbf a$ поворотом на $+\frac\pi2$.

Как на координатной плоскости ($(1,0)\mapsto(\cos\varphi,\sin\varphi)$), поворот на угол $\varphi$ даёт $$\mathbf b=\mathbf a\cos\varphi+(\mathbf n\times\mathbf a)\sin\varphi.$$ Проверка: $|\mathbf b|^2=|\mathbf a|^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=|\mathbf a|^2$, $(\mathbf a,\mathbf b)=|\mathbf a|^2\cos\varphi$.

(Это частный случай формулы Родрига для поворота вокруг оси $\mathbf n$.)

$\mathbf b=\mathbf a\cos\varphi+(\mathbf n\times\mathbf a)\sin\varphi$.