Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах $\mathbf a=\mathbf p+2\mathbf q$, $\mathbf b=2\mathbf p+\mathbf q$, где $\mathbf p$ и $\mathbf q$ — единичные векторы, угол между ними равен $\frac\pi3$.

Векторное произведение билинейно и антисимметрично ($\mathbf p\times\mathbf p=\mathbf 0$, $\mathbf q\times\mathbf p=-\mathbf p\times\mathbf q$): $$\mathbf a\times\mathbf b=(\mathbf p+2\mathbf q)\times(2\mathbf p+\mathbf q)=\mathbf p\times\mathbf q+4\,\mathbf q\times\mathbf p=-3\,\mathbf p\times\mathbf q.$$ $$S=|\mathbf a\times\mathbf b|=3|\mathbf p||\mathbf q|\sin\frac\pi3=\frac{3\sqrt3}2.$$

$S=\dfrac{3\sqrt3}2$.