Доказать, что четырёхугольник $A(2,1,-4)$, $B(1,3,5)$, $C(7,2,3)$, $D(8,0,-6)$ — параллелограмм. Найти длины сторон и угол между $AB$ и $AD$.

$$\overrightarrow{AB}=(-1,2,9),\qquad \overrightarrow{DC}=(-1,2,9),\qquad \overrightarrow{AD}=(6,-1,-2).$$ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, а $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$ не коллинеарны — значит, $ABCD$ параллелограмм. $$|AB|=\sqrt{1+4+81}=\sqrt{86},\qquad |AD|=\sqrt{36+1+4}=\sqrt{41}.$$ $$\cos\angle A=\frac{(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})}{|AB||AD|}=\frac{-6-2-18}{\sqrt{86\cdot41}}=-\frac{26}{\sqrt{3526}}\approx-0{,}438.$$

$|AB|=|CD|=\sqrt{86}$, $|AD|=|BC|=\sqrt{41}$; $\angle A=\arccos\bigl(-\frac{26}{\sqrt{3526}}\bigr)\approx116^\circ$.