Дан треугольник с вершинами $A(0,0)$, $B(1,2)$, $C(-3,2)$. Построить треугольник $ABC'$, где вершина $C'$ симметрична вершине $C$ относительно прямой $AB$.

Прямая $AB$ проходит через начало координат с направляющим вектором $\mathbf u=\overrightarrow{AB}=(1,2)$. Проекция $\overrightarrow{AC}=(-3,2)$ на неё: $$\mathbf p=\frac{(\overrightarrow{AC},\mathbf u)}{(\mathbf u,\mathbf u)}\mathbf u=\frac{-3+4}5(1,2)=\Bigl(\frac15,\frac25\Bigr).$$ $\mathbf p$ — основание перпендикуляра из $C$ на прямую $AB$, и это середина отрезка $CC'$: $$C'=2\mathbf p-C=\Bigl(\frac25+3,\ \frac45-2\Bigr)=\Bigl(\frac{17}5,-\frac65\Bigr).$$ Проверка: $|AC'|^2=\frac{289+36}{25}=13=|AC|^2$ и $\overrightarrow{CC'}=(\frac{32}5,-\frac{16}5)\perp(1,2)$.

$C'\bigl(\frac{17}5,-\frac65\bigr)$.