Пусть дана плоскость с нормалью $\mathbf n$ и вектор $\mathbf a$. Найти вектор, симметричный $\mathbf a$ относительно плоскости.

Разложим $\mathbf a$ на составляющую вдоль нормали и составляющую, параллельную плоскости: $$\mathbf a=\mathbf a_{\parallel n}+\mathbf a_{\perp},\qquad \mathbf a_{\parallel n}=\frac{(\mathbf a,\mathbf n)}{(\mathbf n,\mathbf n)}\,\mathbf n.$$ При отражении относительно плоскости составляющая, лежащая в плоскости, сохраняется, а нормальная меняет знак: $$\mathbf a'=\mathbf a_\perp-\mathbf a_{\parallel n}=\mathbf a-2\,\mathbf a_{\parallel n}=\mathbf a-2\frac{(\mathbf a,\mathbf n)}{(\mathbf n,\mathbf n)}\,\mathbf n.$$ Если $|\mathbf n|=1$: $\mathbf a'=\mathbf a-2(\mathbf a,\mathbf n)\,\mathbf n$.

Проверка: $(\mathbf a',\mathbf n)=(\mathbf a,\mathbf n)-2(\mathbf a,\mathbf n)=-(\mathbf a,\mathbf n)$ и $|\mathbf a'|=|\mathbf a|$.

$\mathbf a'=\mathbf a-2\dfrac{(\mathbf a,\mathbf n)}{|\mathbf n|^2}\,\mathbf n$.