Даны точки $A(1,2,1)$, $B(2,-1,3)$, $C(3,\alpha,\beta)$. При каких значениях $\alpha$ и $\beta$ точка $C$ лежит на прямой $AB$? Где будет расположена точка $C$ относительно точек $A$, $B$ при найденных $\alpha$ и $\beta$?

$C$ лежит на прямой $AB$ тогда и только тогда, когда $\overrightarrow{AC}$ коллинеарен $\overrightarrow{AB}$: $$\overrightarrow{AB}=(1,-3,2),\qquad \overrightarrow{AC}=(2,\ \alpha-2,\ \beta-1)=t\,(1,-3,2).$$ Из первой координаты $t=2$, тогда $\alpha-2=-6$, $\beta-1=4$: $\alpha=-4$, $\beta=5$.

$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}$: точка $C$ лежит на луче $AB$ за точкой $B$, и $B$ — середина отрезка $AC$. Проверка: $\frac{A+C}2=\bigl(2,-1,3\bigr)=B$.

$\alpha=-4$, $\beta=5$; $C$ за точкой $B$, причём $B$ — середина $AC$.