Найти $A\cdot A^{T}$, где $A=\begin{pmatrix}-2&4&-6\\4&0&2\end{pmatrix}$.

$A$ имеет размер $2\times3$, $A^T$ — $3\times2$, произведение — $2\times2$. Элемент на месте $(i,j)$ — скалярное произведение $i$-й и $j$-й строк матрицы $A$. Обозначим строки $r_1=(-2,4,-6)$, $r_2=(4,0,2)$: $$r_1\cdot r_1=4+16+36=56,\qquad r_1\cdot r_2=-8+0-12=-20,\qquad r_2\cdot r_2=16+0+4=20.$$ $$AA^T=\begin{pmatrix}56&-20\\-20&20\end{pmatrix}.$$

Замечание. Матрица $AA^T$ всегда симметрическая, то есть совпадает со своей транспонированной: $(AA^T)^T=(A^T)^TA^T=AA^T$. Это видно и из решения: на местах $(1,2)$ и $(2,1)$ стоит одно и то же число $r_1\cdot r_2$.

$AA^T=\begin{pmatrix}56&-20\\-20&20\end{pmatrix}$.