Дан вектор $\mathbf a(1,1)$. Найти ортогональную проекцию вектора $\mathbf b$ на прямую, направление которой определяется вектором $\mathbf a$, и ортогональную составляющую вектора $\mathbf b$ относительно этой прямой, если вектор $\mathbf b$ имеет координаты: 1) $(1,-3)$; 2) $(1,-1)$; 3) $(3,3)$; 4) $(-2,-2)$. (Базис ортонормированный.)

$$\operatorname{pr}_{\mathbf a}\mathbf b=\frac{(\mathbf b,\mathbf a)}{(\mathbf a,\mathbf a)}\,\mathbf a,\qquad \operatorname{ort}_{\mathbf a}\mathbf b=\mathbf b-\operatorname{pr}_{\mathbf a}\mathbf b.$$ Здесь $(\mathbf a,\mathbf a)=2$.

1) $(\mathbf b,\mathbf a)=-2$: проекция $-\mathbf a=(-1,-1)$, составляющая $(1,-3)-(-1,-1)=(2,-2)$.

2) $(\mathbf b,\mathbf a)=0$: проекция $\mathbf 0$, составляющая $(1,-1)$ — вектор $\mathbf b$ перпендикулярен прямой.

3) $(\mathbf b,\mathbf a)=6$: проекция $3\mathbf a=(3,3)$, составляющая $\mathbf 0$ — вектор $\mathbf b$ лежит на прямой.

4) $(\mathbf b,\mathbf a)=-4$: проекция $(-2,-2)$, составляющая $\mathbf 0$.

Проверка: составляющая всегда перпендикулярна $\mathbf a$, например $(2,-2)\cdot(1,1)=0$.

1) $(-1,-1)$ и $(2,-2)$; 2) $(0,0)$ и $(1,-1)$; 3) $(3,3)$ и $(0,0)$; 4) $(-2,-2)$ и $(0,0)$.