Длины базисных векторов $\mathbf e_1$ и $\mathbf e_2$ общей декартовой системы координат на плоскости равны соответственно $4$ и $2$, а угол между базисными векторами равен $120^\circ$. Относительно этой системы координат заданы вершины треугольника $A(-2,2)$, $B(-2,-1)$, $C(-1,0)$. Найти длины сторон и углы треугольника.

Матрица Грама: $g_{11}=16$, $g_{12}=4\cdot2\cos120^\circ=-4$, $g_{22}=4$; $$(\mathbf x,\mathbf y)=16x_1y_1-4(x_1y_2+x_2y_1)+4x_2y_2.$$ $$\overrightarrow{AB}=(0,-3),\qquad \overrightarrow{AC}=(1,-2),\qquad \overrightarrow{BC}=(1,1).$$ Длины: $$|AB|^2=4\cdot9=36,\quad |AC|^2=16+16+16=48,\quad |BC|^2=16-8+4=12;$$ $|AB|=6$, $|AC|=4\sqrt3$, $|BC|=2\sqrt3$.

Углы: $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=-4(0\cdot(-2)+(-3)\cdot1)+4\cdot6=12+24=36$, $$\cos A=\frac{36}{6\cdot4\sqrt3}=\frac{\sqrt3}2,\ A=30^\circ.$$ $(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=((0,3),(1,1))=-4\cdot3+4\cdot3=0$, $B=90^\circ$, значит $C=60^\circ$.

Проверка: $|AC|^2=|AB|^2+|BC|^2=36+12=48$.

$|AB|=6$, $|BC|=2\sqrt3$, $|AC|=4\sqrt3$; $A=30^\circ$, $B=90^\circ$, $C=60^\circ$.