В треугольнике $ABC$ точки $K$, $L$, $M$ расположены соответственно на сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ так, что $|AK|:|KB|=|BL|:|LC|=|CM|:|MA|=3:1$. Медианы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $P$. Найти координаты вектора $\overrightarrow{AP}$ в базисе $\overrightarrow{LK}$, $\overrightarrow{LM}$.

Вспомогательный базис $\mathbf b=\overrightarrow{AB}$, $\mathbf c=\overrightarrow{AC}$, радиус-векторы от $A$: $$K=\tfrac34\mathbf b,\qquad L=B+\tfrac34(C-B)=\tfrac14\mathbf b+\tfrac34\mathbf c,\qquad M=C+\tfrac34(A-C)=\tfrac14\mathbf c,\qquad P=\tfrac13\mathbf b+\tfrac13\mathbf c.$$ $$\overrightarrow{LK}=\tfrac12\mathbf b-\tfrac34\mathbf c,\qquad \overrightarrow{LM}=-\tfrac14\mathbf b-\tfrac12\mathbf c.$$ Ищем $\overrightarrow{AP}=x\,\overrightarrow{LK}+y\,\overrightarrow{LM}$: $$\begin{cases}\frac12x-\frac14y=\frac13,\\ -\frac34x-\frac12y=\frac13\end{cases}\iff\begin{cases}6x-3y=4,\\-9x-6y=4.\end{cases}$$ Из первого $y=2x-\frac43$; во второе: $-9x-12x+8=4$, $x=\frac4{21}$, $y=\frac8{21}-\frac{28}{21}=-\frac{20}{21}$.

$\overrightarrow{AP}=\frac4{21}\overrightarrow{LK}-\frac{20}{21}\overrightarrow{LM}$.