В треугольнике $ABC$ точки $K$ и $L$ — середины сторон $BC$ и $AC$ соответственно. Точки $M$ и $N$ лежат соответственно на отрезках $AK$ и $BL$ так, что $|AM|:|MK|=6:1$ и $|BN|:|NL|=8:1$. Точка $P$ — середина отрезка $MN$. Найти координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ в базисе $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{CP}$.

Работаем во вспомогательном базисе $\mathbf b=\overrightarrow{AB}$, $\mathbf c=\overrightarrow{AC}$ (радиус-векторы от $A$), затем переходим к нужному. $$K=\tfrac12(\mathbf b+\mathbf c),\qquad M=\tfrac67K=\tfrac37\mathbf b+\tfrac37\mathbf c;$$ $$L=\tfrac12\mathbf c,\qquad N=B+\tfrac89(L-B)=\tfrac19\mathbf b+\tfrac49\mathbf c;$$ $$P=\tfrac12(M+N)=\tfrac{17}{63}\mathbf b+\tfrac{55}{126}\mathbf c.$$ Отсюда $$\overrightarrow{MN}=N-M=-\tfrac{20}{63}\mathbf b+\tfrac1{63}\mathbf c,\qquad \overrightarrow{CP}=P-\mathbf c=\tfrac{17}{63}\mathbf b-\tfrac{71}{126}\mathbf c.$$ Ищем $\mathbf b=x\,\overrightarrow{MN}+y\,\overrightarrow{CP}$. Приравнивая коэффициенты при $\mathbf b$ и $\mathbf c$ (и умножая на $126$): $$\begin{cases}-40x+34y=126,\\ 2x-71y=0.\end{cases}$$ Из второго $x=\frac{71}2y$; подставляя: $-1420y+34y=126$, $y=-\frac1{11}$, $x=-\frac{71}{22}$.

$\overrightarrow{AB}=-\frac{71}{22}\overrightarrow{MN}-\frac1{11}\overrightarrow{CP}$, координаты $\bigl(-\frac{71}{22},-\frac1{11}\bigr)$.