Дан правильный шестиугольник $ABCDEF$. Принимая за базисные векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AF}$, найти в этом базисе координаты векторов $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{DE}$, $\overrightarrow{EF}$, $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{CF}$, $\overrightarrow{CE}$.

Обозначим $\mathbf b=\overrightarrow{AB}$, $\mathbf f=\overrightarrow{AF}$, $O$ — центр. Шестиугольник состоит из шести правильных треугольников, $ABOF$ — ромб, поэтому $\overrightarrow{AO}=\mathbf b+\mathbf f$. Противоположные стороны параллельны и равны: $$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AO}=\mathbf b+\mathbf f,\quad \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AF}=\mathbf f,\quad \overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BA}=-\mathbf b,\quad \overrightarrow{EF}=-\overrightarrow{BC}=-\mathbf b-\mathbf f.$$ (Проверка: $\mathbf b+(\mathbf b+\mathbf f)+\mathbf f-\mathbf b-(\mathbf b+\mathbf f)-\mathbf f=\mathbf 0$.) $$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\mathbf b+2\mathbf f,\qquad \overrightarrow{CF}=2\overrightarrow{CO}=2\overrightarrow{BA}=-2\mathbf b,$$ $$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}=-\mathbf b+\mathbf f.$$

$\overrightarrow{BC}(1,1)$, $\overrightarrow{CD}(0,1)$, $\overrightarrow{DE}(-1,0)$, $\overrightarrow{EF}(-1,-1)$, $\overrightarrow{BD}(1,2)$, $\overrightarrow{CF}(-2,0)$, $\overrightarrow{CE}(-1,1)$.