В трапеции $ABCD$ длины оснований $AD$ и $BC$ относятся как $3:2$. Принимая за базисные векторы $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$, найти в этом базисе координаты векторов $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{DA}$.

Обозначим $\mathbf p=\overrightarrow{AC}$, $\mathbf q=\overrightarrow{BD}$, $\mathbf d=\overrightarrow{AD}$. Основания параллельны и одинаково направлены, $\overrightarrow{BC}=\frac23\mathbf d$. Тогда $$\mathbf p=\overrightarrow{AB}+\frac23\mathbf d,\qquad \mathbf q=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}+\mathbf d.$$ Складывая, исключаем $\overrightarrow{AB}$: $\mathbf p+\mathbf q=\frac53\mathbf d$, то есть $\mathbf d=\frac35(\mathbf p+\mathbf q)$. Далее: $$\overrightarrow{BC}=\frac23\mathbf d=\frac25\mathbf p+\frac25\mathbf q,\qquad \overrightarrow{AB}=\mathbf p-\overrightarrow{BC}=\frac35\mathbf p-\frac25\mathbf q,$$ $$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}=\frac35\mathbf p+\frac35\mathbf q-\mathbf p=-\frac25\mathbf p+\frac35\mathbf q,\qquad \overrightarrow{DA}=-\mathbf d=-\frac35\mathbf p-\frac35\mathbf q.$$ Проверка: сумма $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\mathbf 0$.

$\overrightarrow{AB}(\frac35,-\frac25)$, $\overrightarrow{BC}(\frac25,\frac25)$, $\overrightarrow{CD}(-\frac25,\frac35)$, $\overrightarrow{DA}(-\frac35,-\frac35)$.