Вычислить $\displaystyle\int_0^{\ln2} xe^{-x}\,dx$.

Сначала находим первообразную по частям: $u=x$, $dv=e^{-x}dx$, тогда $du=dx$, $v=-e^{-x}$: $$ \int xe^{-x}\,dx = -xe^{-x}+\int e^{-x}\,dx = -xe^{-x}-e^{-x}+C = -e^{-x}(x+1)+C. $$

Обозначим $F(x)=-e^{-x}(x+1)$. Вычисляем по формуле Ньютона—Лейбница на $[0,\ln2]$.

При $x=\ln2$: $e^{-\ln2}=\dfrac12$, поэтому $$ F(\ln2) = -\frac12(\ln2+1). $$

При $x=0$: $$ F(0) = -1\cdot(0+1) = -1. $$

$$ \int_0^{\ln2} xe^{-x}\,dx = F(\ln2)-F(0) = -\frac12(\ln2+1)-(-1) = 1-\frac{\ln2+1}{2} = \frac{2-\ln2-1}{2} = \frac{1-\ln2}{2}. $$

Численно: $\ln2\approx0{,}6931$, значит $\displaystyle\int_0^{\ln2} xe^{-x}\,dx\approx0{,}1534$.

$$ \boxed{\int_0^{\ln2} xe^{-x}\,dx = \frac{1-\ln2}{2}\approx0{,}1534} $$