Вычислить $\displaystyle\int_0^{1/\sqrt5} \frac{dx}{5x^2+1}$.

Находим первообразную. Пишем $5x^2+1=5\left(x^2+\dfrac15\right)$, либо сразу проверим подстановку $w=\sqrt5\,x$: $$ \int \frac{dx}{5x^2+1} = \frac{1}{\sqrt5}\,\mathrm{arctg}(\sqrt5\,x) + C, $$ что легко проверяется дифференцированием: $\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{1}{\sqrt5}\mathrm{arctg}(\sqrt5 x)\right] = \dfrac{1}{\sqrt5}\cdot\dfrac{\sqrt5}{1+5x^2} = \dfrac{1}{1+5x^2}$.

Вычисляем по формуле Ньютона—Лейбница: $$ \int_0^{1/\sqrt5} \frac{dx}{5x^2+1} = \frac{1}{\sqrt5}\Big[\mathrm{arctg}(\sqrt5\,x)\Big]_0^{1/\sqrt5} = \frac{1}{\sqrt5}\left(\mathrm{arctg}\,1-\mathrm{arctg}\,0\right) = \frac{1}{\sqrt5}\cdot\frac{\pi}{4}. $$

$$ \frac{\pi}{4\sqrt5} = \frac{\pi\sqrt5}{20}. $$

$$ \boxed{\int_0^{1/\sqrt5} \frac{dx}{5x^2+1} = \frac{\pi\sqrt5}{20}} $$