Вычислить $\displaystyle\int \frac{dx}{(x+1)(x-2)}$.

Разлагаем на простейшие дроби: $$ \frac{1}{(x+1)(x-2)} = \frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-2}. $$

Приводим к общему знаменателю: $1 = A(x-2)+B(x+1)$.

Подставляем: - $x=-1$: $\ 1 = -3A \Rightarrow A=-\dfrac13$. - $x=2$: $\ 1 = 3B \Rightarrow B=\dfrac13$.

Значит $$ \frac{1}{(x+1)(x-2)} = -\frac{1}{3(x+1)}+\frac{1}{3(x-2)}. $$

Интегрируем почленно: $$ \int \frac{dx}{(x+1)(x-2)} = -\frac13\ln|x+1| + \frac13\ln|x-2| + C = \frac13\ln\left|\frac{x-2}{x+1}\right| + C. $$

$$ \boxed{\int \frac{dx}{(x+1)(x-2)} = \frac13\ln\left|\frac{x-2}{x+1}\right| + C} $$